Betriebsfestigkeit von Schrauben: Zeitreihen in der FEM richtig berechen.

Arbeiten Sie auch mit FEM und legen Sie auch Schrauben aus? Dann wissen Sie, dass für einen Betriebsfestigkeitsnachweis nicht nur die maximale Spannung, sondern vor allem der zeitliche Verlauf berücksichtigt werden muss. Lesen Sie hier, wie Sie dies einfach tun.

Bauteile (auch Schrauben) die zeitlich veränderlichen Lasten ausgesetzt sind, müssen betriebsfest ausgelegt werden. Die zeitlich veränderlichen Lasten führen zu zeitlich veränderlichen Beanspruchungen (also Spannungen) im Bauteilinneren. Für die Bewertung der Betriebsfestigkeit werden Spammungsamplituden und Mittelspannungen benötigt. Somit muss die Spannungszeitreihe, also die zeitliche Abfolge der Spannungen bekannt sein. Es muss nicht nur die Spannung, sondern vor allem die Änderung der Spannung bekannt sein, da diese für Rissentstehung und Risswachstum verantwortlich ist (siehe auch diesen Artikel zur Rissenstehung). Dies gilt sowohl für allgemeine Bauteile, als auch für Schrauben.

Berechnung Betriebsfestigkeit unter Schraubenvorspannung

Schrauben verdienen hier aber eine besondere Betrachtung, da diese durch ihre Anzugsmomente häufig unter hohen Mittelspannungen stehen. Dies führt auch in dem durch die Schraube verspannten Bauteil zu hohen Mittelspannungen. Die Belastungen (Kräfte) oder Beanspruchungen (Spannungen oder Dehnungen) können entweder gemessen, oder berechnet werden.

Gemessen wird im Regelfall aber nicht die Dehnung im kritischen Bereich, da diese Positionen meist nicht zugänglich sind. Daher ist es nicht möglich ist die Dehnung z.B. mit Dehnmessstreifen zu messen und damit die Spannungen zu bestimmen. Alternativ wird deswegen häufig die Belastung gemessen, dies ist bei der Schraube zum Beispiel mit einer Kraftmessdose möglich.

Nehmen wir daher einmal an unsere Kraftmessdose würde folgendes Signal aufzeichnen:

0 N; 2000 N; 500 N; 1000 N; 500 N; 800 N; 0 N.

Viele Systeme verhalten sich linear. Im Falle einer Berechnung (wie der FEM) ist es daher häufig sinnvoll einen Einheitslastfall (z.B. 1000N = 100%) zu rechnen und die Lastzeitreihe als Skalierung zu verwenden. In unserem Fall würde eine Einheitslast von 1000 N berechnet werden. In der Folge stellen sich die Skalierungszeitreihe wie folgt dar:

0 %; 200 %; 50 %; 100 %; 50 %; 80 %; 0 %.

Nehmen wir weiter an, die Maximalspannung bei einer Berechnung mit der Einheitslast von 1000 N wäre 220 N/mm² = 220 MPa, dann würden wir folgende Spannungszeitreihe erhalten:

0 MPa; 440 MPa; 110 MPa; 220 MPa; 110 MPa; 176 MPa; 0 MPa.

Soweit so gut. Leider lassen sich nicht alle Lasten alleine rechnen. Das Beispiel für nachfolgende Rechnung ist ein verschraubter Druckkessel.

Nachdem die Schraube angezogen ist, kann der Innendruck aufgebracht werden. Allerdings kann man den Innendruck nicht aufbringen ohne dass die Schraube festgeschraubt wurde. Die Bauteile würden einfach auseinanderfallen. Wir haben es also mit zwei Lastfällen zu tun.

• Lastfall 1 berücksichtigt die Schraubenvorspannkraft
• Lastfall 2 berücksichtigt die Schraubenvorspannkraft und den Innendruck.

Das Problem ist nun folgendes: Im Betrieb ändert sich die Schraubenvorspannkraft nicht. Es ändert sich nur der Innendruck. Dies würde bedeuten, dass für jeden Zeitschritt unserer Zeitreihe eine gesonderte FE-Rechnung nötig wäre, was den Aufwand enorm in die höhe treibt.

Um dies zu vermeiden, gibt es einen Trick. Es wird ein dritter Lastfall berechnet, der die Differenz aus Lastfall 1 und 2 darstellt:

• Lastfall 3 = Lastfall 2 - Lastfall 1: berücksichtigt den Innendruck.

Folgende Abbildungen zeigen das Vorgehen detailliert. zuerst wird der Lastfall 1 berechnet. Das ist die vorgespannte Schraube ohne Innendruck.

Danach berechnen wir den Lastfall 2, also die vorgespannte Schraube und den Innendruck.

Die Maximalspannung der beiden Lastfälle unterscheidet sich kaum. So ist die Maximalspannung bei der Schraubenvorspannkraft bei 500 MPa (oberes Bild), die Maximalspannung bei der Betriebslast sind bei 520 MPa (unteres Bild).

Was sich nun aber ändern wird ist nur der Druck, nicht die Schraubenvorspannkraft. Nehmen wir an unsere gemessene Historie bei der Druckänderung wäre die selbe, welche wir zuvor bei der Kraft verwendet haben, die Last sich also wie folgt ändert:

0 %; 200 %; 50 %; 100 %; 50 %; 80 %; 0 %

Nun können wir nicht einfach die Maximalspannung der Betriebslast mit dieser Zeitreihe skalieren, wir würden folgende Spannungszeitreihe erhalten.

0 MPa; 1040 MPa; 260 MPa; 520 MPa; 260 MPa; 416 MPa; 0 MPa

Ohne Druck wäre also das ganze System spannungsfrei, damit hätte sich die Schraube gelöst. Dies kann so natürlich nicht sein. Was wir eigentlich skalieren müssten, wäre die Differenz zwischen der Schraubenvorspannkraft und der Betriebslast (also Lastfall 3). Diesen zeigt folgende Abbildung:

Aus dem Plot der Spannungsdifferenzen erkennen wir, dass die maximale Amplitude sich nicht an der gleichen Stelle befindet wie zuvor die Maximalspannung. Für dieses Beispiel wollen wir uns aber trotzdem nur auf die Maximalspannung konzentrieren, da dies leichter nachzuvollziehen ist.

Wir hätten also die Differenz der Spannung der Betriebslast (520 MPa) zu der Spannung der Schraubenvorspannkraft (500 MPa) also von 520 MPa – 500 MPa = 20 MPa. Die skalierte Spannungsänderung ist damit der zeitliche Verlauf von Lastfall 3:

0 MPa; 40 MPa; 10 MPa; 20 MPa; 10 MPa; 16 MPa; 0 MPa

Ein Problem haben wir noch. Der Lastfall 3 ignoriert die mittlere Schraubenvorspannung von 500 MPa aus Lastfall 1! Nun wird die Schraube nicht gelöst, sondern die 500 MPa wirken die ganze Zeit. Deshalb  wird der Lastfall 1 (die 500 MPa Pannung) noch hinzugezählt, die Spannungszeitreihe ist nun:

500 MPa; 540 MPa; 510 MPa; 520 MPa; 510 MPa; 516 MPa; 500 MPa.

Mit dieser Spannungszeitreihe, kann nun über eine Rainflow Zählung (siehe dazu unser Artikel Rainflowzählung) die Anzahl der Zyklen für jede Amplitude und Mittelspannung bestimmt werden. Damit kann anschließend eine Schädigungsrechnung durchgeführt werden.

Auf den Punkt

• Wenn ein Spannungsfeld, nicht nur die Spannungen einer Belastung enthält muss diese erst von den anderen Spannungsfeld bereinigt werden, damit die Spannung skaliert werden kann. Dies ist insbesondere bei Schrauben oder einer Überlagerung von Temperatur und Kraft der Fall.
• Die Lastzeitreihe sollte dabei nur den Druck skalieren nicht die Schraubenvorspannkraft, da die Schraube ja Ihre Vorspannung im Betrieb nicht ändert. Es gilt also
  σ_gesamt = σ_Schraube + Lastzeitreihe * σ_Differenz
• Die Differenz ist meist nicht sofort verfügbar, daher muss diese erst berechnet werden.
  σ_gesamt = σ_Schraube + Lastzeitreihe * (σ_Betriebslast - σ_Schraube)
• In einigen Programmen ist eine vorherige Verrechnung der Lastschritte nicht vorgesehen. Allerdings ist es immer möglich einzelnen Lastfällen die Zeitreihen und Skalierungsfaktoren zuzuweisen. In der Folge kann die Gesamtspannungszeitreihe wie folgt berechnet werden.
  σ_gesamt = σ_Schraube + Lastzeitreihe * σ_Betriebslast - Lastzeitreihe * σ_Schraube
• Dies ist bei verschraubten Strukturen notwendig, kann aber auf ähnliche Situationen wie zum Beispiel eine Vorspannung durch eine Schnappverbindung übertragen werden.

Bei aller Komplexität in der Schraubenberechnung denken Sie daran:

Kleben ist Glauben,

besser Schrauben 😉

Dieser Artikel entstand mit freundlicher Unterstützung von Florian Mailänder.