Das Abgrenzungsverfahren: Dauerfestigkeiten auch mit wenig Versuchen sinnvoll auswerten und planen

Versuche zur Ermittlung der Dauerfestigkeit sind aufwändig, teuer und erfordern hohe Stichproben. Das Abgrenzungsverfahren ermöglicht es diese Versuche sinnvoll zu planen und auszuwerten. Auch für geringe Stichproben! Hier erfahren Sie wie Sie mit Hilfe des Abgrenzungsverfahrens Dauerfestigkeiten statistisch auswerten und den Versuch planen.

In diesem Artikel lernen Sie,

• wie Sie das Abgrenzungsverfahren richtig anwenden indem Sie Ihre Dauerfestigkeitsversuche danach planen und auswerten
• wann Sie das Abgrenzungsverfahren anwenden sollten, und wann nicht
• welche weiteren Verfahren es gibt, und wann diese angewandt werden
• Praxistipps für die Planung und Auswertung kennen.

Inhalt

1. Übersicht
2. Empfehlungen
3. Abgrenzungsverfahren
   1. Schritt 1
   2. Schritt 2
   3. Schritt 3
4. Auf den Punkt
5. Weiterführende Informationen 

Übersicht der Verfahren zu Dauerfestigkeitsauswertung

Für die Auswertung der Versuche im Dauerfestigkeitsbereich stehen verschiedene Verfahren zur Verfügung. Müller hat in seiner Dissertation zur statistischen Auswertung der Dauerfestigkeiten umfangreich untersucht welche Auswerteverfahren die treffsichersten Ergebnisse liefern. Diese Ergebnisse sind auch in die DIN50100 eingeflossen. Untersucht wurde das Treppenstufenverfahren und die Auswertung nach Hück, Maximum Likelihood, Deubelbeiss und Klubberg sowie das Probitverfahren und das Abgrenzungsverfahren.

Bei der Bewertung der Verfahren muss unterschieden werden, ob nur die Mittelwerte σ_D,50% oder auch die Streuungen (also die Standardabweichungen s_σ ) ermittelt werden sollen. Für die Auswertung von Mittelwerten sind alle Verfahren geeignet. Die nötigen Stichprobenumfänge sind überschaubar. Anders sieht dies bei der Auswertung der Streuungen aus. Um hier treffsichere Aussagen liefern zu können, sind die erforderlichen Stichprobenumfänge teilweise sehr hoch.

Empfehlungen

Für die Auswertung der Dauerfestigkeit werden folgende drei Verfahren empfohlen:

• das Treppenstufenverfahren mit der Auswertung nach Hück liefert neben einer einfachen und robusten Versuchsführung die zuverlässigsten Ergebnisse bei der Auswertung des Mittelwertes.
• trotz der schlechteren statistischen Ergebnisse wird außerdem noch auf das Probitverfahren eingegangen, da es eine hohe Verbreitung aufweist.
• das Abgrenzungsverfahren ist insbesondere für die Auswertung von Streuungen bei kleinen Stichprobenumfängen (n < 40) anzuwenden. Im Vergleich zum Treppenstufenverfahren liefert es vergleichbare Ergebnisse bei der Mittelwertauswertung. Die Versuchsplanung ist jedoch aufwändiger.

Empfehlung für Verfahren zur experimentellen Auswertung der Dauerfestigkeit

Das Abgrenzungsverfahren zur Auswertung der Dauerfestigkeit

Nach dem Abgrenzungsverfahren [13] werden Versuche auf zwei Lasthorizonten im Übergangsbereich der Dauerfestigkeit gefahren. Das bedeutet, dass auf beiden Horizonten sowohl Ausfälle, also auch Durchläufer auftreten. Aus diesen beiden Lasthorizonten werden die mittlere Dauerfestigkeit  und die Standardabweichungen  berechnet. Idealerweise haben beide Horizonte dieselbe Versuchsanzahl.

Die Vorgehensweise des Abgrenzungsverfahrens erfolgt in drei Schritten:

1. Versuchsführung inkl. Auswahl des Starthorizontes
2. Ermittlung des zweiten Lasthorizontes über den Verschiebungsfaktor x_A
3. Auswertung der Ergebnisse im Wahrscheinlichkeitsnetz

Schritt 1: Festlegung des Starthorizontes

Vor Auswahl des Starthorizontes wird der Stufensprung d gewählt. Dies bedeutet bei logarithmischer Skalierung einem konstanten Stufensprung lg(d). Es ist derselben Methode wie beim Treppenstufenverfahren. Zur Wahl der Lasthorizonte bietet sich ein logarithmisch konstanter Stufensprung lg(d) an. Der maximale und der minimale Lasthorizont sollten in Abhängigkeit der geschätzten logarithmischen Standardabweichung s_σ und der geschätzten Dauerfestigkeit σ_D,50% gewählt werden. Für die Schätzung der Standardabweichung s_σ bieten sich entweder die Erfahrungswerte für Streuungen nach Haibach oder eigene Werte aus vorangegangenen Versuchen an. Die Dauerfestigkeit σ_D,50%  kann z. B. über geeignete Richtlinien (z. B. die FKM-Richtlinie) oder ebenfalls über Erfahrungswerte abgeschätzt werden.

Als erste Laststufe wird häufig die rechnerisch abgeschätzte Dauerfestigkeit σ_D* gewählt. Die Treppenstufen (oder auch Lasthorizonte) sollen alle den gleichen Abstand zueinander haben. Dieser Abstand wird als Stufensprung d bezeichnet. Da Wöhlerversuche immer im doppellogarithmischen Netz dargestellt werden, bedeutet dies, dass der logarithmische Stufensprung lg(d)  zwischen zwei Spannungsamplituden gleich ist:

lg(d) = lg σ_a,i - lg σ_a,i+1 = lg(σ_a,i/σ_a,i+1) = konstant =  lg(σ_a,i/σ_D*)
σ_a,i = σ_D* ·  dⁱ

mit
i = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
σ_D* = abgeschätzte Dauerfestigkeit (z.B. mittels FKM-Richtlinie)
d = Stufensprung
σ_a,i = i-te Laststufe.

Eine gute Wahl des Stufensprungs d ist getroffen, wenn für das Verhältnis aus der zu erwartenden Standardabweichung s_σ (siehe dazu auch die Erfahrungswerte für Streuungen nach Haibach) zum logarithmischen Stufensprung lg(d) gilt:

lg(d) = s_σ ≈ 0,03...0,06.

Auf dem ersten Lasthorizont wird ein Versuch durchgeführt. Abhängig vom Ergebnis wird der nächste Lasthorizont gewählt. Handelt es sich um einen Ausfall, dann wird der nächste Lasthorizont um den Stufensprung niedriger gewählt. Trat dagegen ein Durchläufer auf, dann wird auf dem nächsthöheren Lasthorizont geprüft (vgl. dazu folgende). Dies wird solange fortgeführt, bis zum ersten Mal das entgegengesetzte Ergebnis auftritt. Der Lasthorizont, bei dem dies auftritt, ist dann der erste Prüfhorizont σ_a,1. Hier wird nun die Hälfte der Bauteile geprüft (vgl. dazu folgende Abbildung).

Auswahl des Starthorizonts für das Abgrenzungsverfahren

Praxistipp: 

Auch für das Abgrenzungsverfahren kann mit beliebigen Startwerten begonnen werden. Je näher der Startwert σ_a,1 = σ_D* an der realen Dauerfestigkeit σ_D liegt, umso weniger Versuche sind nötig. Dazu kann entweder auf Erfahrungswerte aus früheren Versuchen zurückgegriffen werden, oder die Dauerfestigkeit wird rechnerisch abgeschätzt. Hier bietet sich beispielsweise die FKM-Richtlinie an.

Schritt 2: Ermittlungen des zweiten Lasthorizonts über den Verschiebungsfaktor x_A

Nachdem die Prüfung auf dem ersten Prüfhorizont σ_a,1 abgeschlossen wurde, wird der zweite Prüfhorizont σ_a,2 ermittelt (siehe dazu auch obige). Dazu unterscheidet man zwei Fälle:

• Fall 1: Auf dem ersten Horizont sind mehr Ausfälle als Durchläufer aufgetreten, dann ist der erste Prüfhorizont σ_a,1 größer als der zweite Prüfhorizont σ_a,2.
• Fall 2: Treten auf dem ersten Horizont mehr Durchläufer als Ausfälle auf, gilt das Gegenteil. Der erste Prüfhorizont σ_a,1 ist dann kleiner als der zweite Prüfhorizont σ_a,2.

Die Wahl des zweiten Prüfhorizontes geschieht in Abhängigkeit des Verschiebungsfaktors x_A. Es wird empfohlen

x_A = 2

zu wählen. Konkret berechnet sich der zweite Prüfhorizont σ_a,2 mit der Anzahl der Ausfälle n_A,1 und der gesamten Anzahl an Versuchen n₁ auf dem ersten Lasthorizont σ_a,1

• lg(σ_a,2) = lg(σ_a,1) + (1+n_A,1/n₁) ∙ x_A ∙ s_σD, wenn n_A,1/n₁ ≤ 0,5 (mehr Durchläufer),
• lg(σ_a,2) = lg(σ_a,1) - (1+n_A,1/n₁) ∙ x_A ∙ s_σD, wenn n_A,1/n₁ > 0,5 (mehr Ausfälle).

Für die Standardabweichungen s_σ ≈ 0,03...0,06 muss wieder eine Annahme getroffen, oder auf Erfahrungswerte z. B. die Erfahrungswerte für Streuungen nach Haibach zurückgegriffen werden.

Schritt 3: Auswertung im Wahrscheinlichkeitsnetz

Zur Auswertung der Ergebnisse wird für beide Horizonte die Ausfallwahrscheinlichkeit P_A,i nach Rossow berechnet:

P_A,i  = (3 ∙ n_A,i - 1)/(3 ∙ n_i+1)

mit
n_A,i (Anzahl der Ausfälle für den i-ten Lasthorizont) und
n_i (Anzahl der Versuche für den i-ten Lasthorizont)

Die Wertepaare aus Ausfallwahrscheinlichkeit P_A,i und Lasthorizont σ_a,i lassen sich jetzt in ein Wahrscheinlichkeitsnetz eintragen und auswerten (siehe folgende Abbildung). Dabei wird eine logarithmische Normalverteilung angenommen.

Auf den Punkt

Das Abgrenzungsverfahren

• ist sehr gut geeignet, um die mittlere Dauerfestigkeit aus Versuchen zu ermitteln,
• kann außerdem auch bei geringen Stichprobenumfängen die Streuungen (Standardabweichung) zutreffend bestimmen,
• nutzt das Wahrscheinlichkeitsnetz für die Auswertung (hier finden Sie ein Excel Tool für das Wahrscheinlichkeitsnetz).