Wie Sie den richtigen Sicherheitsfaktor für Ihre Bauteile schnell berechnen – für beliebige Ausfallwahrscheinlichkeiten!

Geeignete Sicherheitsfaktoren müssen die Streuungen der Werkstoffdaten und den Umfang der Versuche berücksichtigen. Ich zeige Ihnen eine einfache und schnelle Methode dazu, die jeder umsetzen kann.

Bei der Auslegung eines Bauteiles sind aufgrund der Streuungen Sicherheiten vorzuhalten um die gewünschten Ausfallwahrscheinlichkeiten garantieren zu können. Basiert die Bauteilauslegung auf Werkstoffkennwerten (z. B. Zugfestigkeit oder Wöhlerlinie), die durch eigene Versuche ermittelt wurden muss zusätzlich noch die Unsicherheit auf Grund der Stichprobenanzahl berücksichtigt werden.
Die Sicherheit setzt sich damit aus zwei Teilen zusammen:
Der Sicherheit bezüglich der Ausfallwahrscheinlichkeit j_PA
Die Sicherheit bezüglich des Stichprobenrisikos j_n (in diesem Artikel erfahren Sie, wie dieser berechnet wird)
Die gesamte Sicherheit j ist das Produkt dieser beiden Sicherheiten:
j= j_PA∙j_n.

Oder anders ausgedrückt gilt für die Lebensdauer bei einer beliebigen Ausfallwahrscheinlichkeit:
Lebendauer_{x % Ausfallwahrsch.} =Lebensdauer_{50 % Ausfallwahrsch.}/(j_n* j_PA )

DIE SICHERHEIT DER DAUERFESTIGKEIT BEZÜGLICH AUSFALLWAHRSCHEINLICHKEIT

Für die Streuungen der Lebensdauerversuche (Wöhlerlinien) typischer Werkstoffe des Maschinenbaus liegen Erfahrungswerte vor. Haibach gibt Erfahrungswerte an (siehe folgende Tabelle).

Tabelle 1 Erfahrungswerte für die Streuung von Werkstoffdaten der Betriebsfestigkeit

Darin sind die logarithmischen Standardabweichungen sowohl in Lebensdauerrichtung (s_N), also auch in Spannungsrichung (s_σ) zusammengefasst. Mit der logarithmischen Normalverteilung können damit Sicherheiten bezüglich beliebiger Ausfallwahrscheinlichkeiten j_PA berechnet werden.

Die Sicherheit definiert allgemein das Verhältnis aus dem Merkmalswert bei der gewünschten Ausfallwahrscheinlichkeit x_PA zum Merkmalswert der Ausfallwahrscheinlichkeit von 50 % x_{: PA}=50%, also dem Mittelwert:
j_PA=x_PA=50%/x_PA =Mittelwert / x _PA .

Für Schwingfestigkeitskennwerte wird die logarithmische Normalverteilung angenommen. In diesem Fall berechnet sich die Sicherheit in Abhängigkeit der Standardabweichung (z.B. aus obiger Tabelle) folgendermaßen:
j_PA=(10)^(u∙s)

Es ist u die Schranke der Normalverteilung für die gewünschte Ausfallwahrscheinlichkeit nach folgender Tabelle 2

Tabelle 2: Schranken u der Normalverteilung

und s die Standardabweichung nach der ersten Tabelle.
Alternativ können die Sicherheitsfaktoren auch diesen Diagrammen entnommen werden:

Abbildung 1: Sicherheit in Spannungsrichtung abhängig von der Streuung der Wöhlerlinien

Abbildung 2: Sicherheit in Lebensdauerrichtung abhängig von der Streuung der Wöhlerlinie

Dazu ein Beispiel:

Die Ausfallwahrscheinlichkeit P_A einer Getriebewelle aus Stahl soll nicht größer 1 ppm sein: P_A < 1ppm. Die Belastung ist schwingend. Wir führen also einen Schwingfestigkeitsnachweis. Wie groß ist dann die Sicherheit zu wählen?

Lösung:

Wegen des Schwingfestigkeitsnachweises nehmen wir an, dass die Festigkeitskennwerte nach der logarithmischen Normalverteilung verteilt sind.
Wir nehmen außerdem an, dass die Welle spanabhebend bearbeitet wird und mäßige Kerben aufweist. Es ergeben sich nach der ersten Tabelle die logarithmischen Standardabweichungen
s_N=0,197 in Lebensdauerrichtung
s_σ=0,0392 in Spannungsrichtung

Zeichnerisch:

Aus den Diagrammen der Abbildung 1 und 2 werden für die Standardabweichungen und eine Ausfallwahrscheinlichkeit von P_A = 1 ppm folgende Sicherheiten abgelesen:
j_PA,N = f(P_A;s_N) ; mit s_N=0,197; P_A=1 ppm gilt j_PA,N ≈ 9,0
j_PA,σ = f(P_A;s_σ) ; mit s_σ=0,0392; P_A=1 ppm gilt j_PA,σ ≈ 1,6

Rechnerisch:

Um eine Ausfallwahrscheinlichkeit von P_A = 1ppm

j_PA,N = 10^u∙s_N = 10^{4,753∙0,197} = 8,64
j_PA,σ = 10^u∙s_σ = 10^{4,753∙0,0392} = 1,54
Wir erkennen, dass die Sicherheiten in Lebensdauerrichtung deutlich größer sind, als die in Spannungsrichtung. Dies liegt am relativ flachen Verlauf der Wöhlerlinie. Außerdem stellen wir fest, dass die typischen aus dem Maschinenbau bekannten Sicherheitsfaktoren von S=1,5…2 sehr gut mit den Sicherheiten für eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 1ppm übereinstimmen, wenn in Spannungsrichtung bewertet wird. Dies ist der übliche Fall, da meist berechnete Spannungen (z.B. aus FEM) den ertragbaren Spannungen (z.B. Dauerfestigkeiten) gegenübergestellt werden.

Auf den Punkt

Sicherheiten können sowohl in Spannungsrichtung, als auch in Lebensdauerrichtung berechnet werden.

Sicherheiten in Lebensdauerrichtung sind immer größer als in Spannungsrichtung. Ursächlich sind die größeren Streuungen in Lebensdauerrichtung durch einen flachen Verlauf der Wöhlerlinie.

Zur Abschätzung von Streuungen von Werkstoffdaten für Stahl und Aluminium liegen Erfahrungswerte vor, so das Bauteile auch ohne eigene Versuche robust ausgelegt werden können.

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