Wie gut sind wir bei unseren FEM Berechnungen? Oder: wie groß ist eigentlich der Einfluss der Berechnenden Person auf das Ergebnis?

Bei der rechnerischen Lebensdauerberechnung ist die Finite Elemente Simulation (FEM) die Grundlage der Auslegung. Wenn Sie ebenfalls FEM Rechnungen durchführen, dann kennen Sie sicher die Unsicherheit bei der Annahme der Randbedingungen für die FEM Berechnung. Die Annahme der Randbedingungen einer FEM Berechnung beinhaltet Annahmen zur Aufbringung der Lasten, der Festhaltungen oder auch der Vernetzung.

In diesem Artikel wollen wir die Fragen beantworten, wie groß diese Einflüsse sein können, und was man tun kann, um die Einflüsse zu reduzieren.

In diesem Artikel lernen Sie,

• welche Faktoren die FEM Ergebnisse eigentlich beeinflussen
• wie groß diese Einflüsse tatsächlich sind
• welche Rolle dabei wir selber bei der Modellierung der FEM spielen
• und was wir daraus für gute FEM Berechnungen lernen können.

Inhalt

1. Vorgehen
2. Einflüsse auf die FEM Ergebnisse
   1. Lastannahmen
   2. Werkstoffdaten
   3. Vernetzung
   4. Modellierung
   5. Weitere Einflüsse
3. Auf den Punkt

1 Vorgehen

Dieser Artikel hat soll auf eine pragmatische, grobe Art den Einfluss der Randbedingungen in der Modellierung auf die Simulationsergebnisse abschätzen. Der Fokus liegt auf linearelastischen FEM Berechnungen zur Berechnung der Spannungen. Diese Berechnungen stellen die Grundlagen der Berechnung der statischen Festigkeit und der Betriebsfestigkeit z.B. nach der FKM Richtlinie.

Die Ergebnisse werden dann ins Verhältnis der Unsicherheiten bei der Auswahl der Vernetzung gestellt.

Dadurch ist dann eine Aussage möglich, welcher Einfluss tendenziell größer ist, und wie man damit am besten umgehen kann.

Dieser Artikel ist eine grobe Abschätzung und hat keinen Anspruch auf eine wissenschaftlich perfekte Aussage.

2 Einflüsse auf ein FEM Ergebnis

Die Grundlage einer rechnerischen Betriebsfestigkeitsberechnung mittels FEM ist meist ein linearelastisches FEM Modell.

Eine typische linearelastische FEM Berechnung besteht aus den folgenden Schritten, wobei jeder Schritt fehlerbehaftet ist:

• Lastannahme
• Werkstoffdaten auswählen
• Vernetzung des Bauteils
• Modellierung der Festhaltungen und der Lasten
• Weitere Einflüsse

Alle Einflüsse werden nachfolgend getrennt voneinander untersucht und bestmöglich mit Zahlenwerten quantifiziert.

2.1 Die Lastannahme

Die Höhe und Art der Belastung eines Bauteiles ist extrem schwierig abzuschätzen, wenn nicht weitere Informationen von Kunden, Nutzern, Anwendungsfällen, … bekannt sind.

Eines der vielleicht größten Risiken bei der Lastannahme ist, dass Lastfälle ganz vergessen werden, oder dass die Lasthöhe zu niedrig angenommen wird. Als Beispiel kann hier die Katastrophe von Fukushima dienen. Bei der Auslegung des Kraftwerkes wurde die Höhe der Flutwellen zu niedrig angenommen. Dadurch waren die vorhanden Schutzmaßnahmen nicht ausreichend, was letztlich zur Katastrophe führte.

Empfehlung: Hier kann der Einfluss nicht vernünftig quantifiziert werden. Er wird aber auf extrem hoch eingeschätzt und sollte deshalb unbedingt durch umfangreiche Analysen und Kundenbefragungen gestützt werden, um bestmögliche Annahmen zu treffen.

2.2 Die Werkstoffdaten

Um eine FEM Rechnung zu starten benötigt die Software üblicherweise die folgenden Werkstoffdaten:

• E-Modul E
• Querkontraktionszahl υ

Beide Kennwerte werden jedoch nur für die Berechnung der Verformung, nicht jedoch für die Berechnung der Spannungen benötigt.

Außerdem sind beide Kennwerte für die typischen Werkstoffgruppen (Stähle, Aluminiumlegierungen) und homogene, isotrope Werkstoffe sehr gut bekannt.

Daher kann der Einfluss der Werkstoffdaten auf das FEM Ergebnis vernachlässigt werden.

Empfehlung:

Es wird empfohlen, mit den üblichen Daten für die E-Moduli und die Querkontraktion zu arbeiten (z.B. Stahl: E=210 000MPa, υ=0,3). Hier finden Sie Quellen für kostenlose Werkstoffdaten.

2.3 Die Vernetzung

Bei der Vernetzung spielen folgende Aspekte im Wesentlichen eine Rolle

• Auswahl des Elementtypes
• Anzahl der Elemente über dem Radius im Kerbbereich
• Vergrößerung der Elemente in der Tiefe (Wachstumsrate)

Bei der Vernetzung liegt der Vorteil darin, dass hier klare und eindeutige Vorschläge für eine gute Vernetzung gegeben werden können und diese auch einfach umsetzbar sind. Dieses Thema wurde umfangreich in dem Artikel zur richtigen Vernetzung  untersucht.

2.3.1 Einfluss Elementtyp

Linearelastische, strukturmechanische FEM Berechnungen sind mittlerweile Standardsimulationen. Die üblichen Elemente für Volumenbauteile sind entweder Tetraeder oder Hexader mit oder ohne Seitenmittenknoten, siehe den Artikel zur richtigen Elementwahl.

Generell werden Elemente mit Seitenmittenknoten (oder Elemente höherer Ordnung, quadratische Elemente, Elemente mit quadratischer Ansatzfunktion) empfohlen.

Arten von 2D und 3D Elementen der FEM (mit/ohne Seitenmittenknoten)Für Hexaeder mit Seitenmittenknoten sind die berechneten Spannungen etwa um 10 % höher.

D.h. es gilt folgender Einfluss: Tetraeder mit Seitenmittenknoten: Einfluss < 10% d.h. reale Spannung kann um bis zu 10% höher liegen

Hinweis: Diese Aussage gilt aber nur bis zur Konvergenz! Für konvergierte Spannungen ist es egal, welchen Elementtyp man verwendet.

Empfehlung:

Bei konvergenten Ergebnissen ist die Wahl des Elementes egal. Allerdings lassen sich komplizierte Geometrien viel einfacher mit Tetraedern vernetzen, als dies mit Hexaedern der Fall ist. Deshalb lautet die Empfehlung:
Nutzen von Tetraedern mit Seitenmittenknoten

2.3.2 Einfluss Elementzahl

Generell gilt, je gröber das Netz, umso schneller die Berechnung. Je feiner das Netz, umso genauer ist die Vernetzung. Da es sich aber um ein Konvergenzproblem handelt, gibt es für die Netzfeinheit eine wirtschaftlich sinnvolle Grenze, bei welcher eine weitere Verfeinerung des Netzes keine signifikante Verbesserung der Ergebnisse mehr ermöglicht. Je feiner das Netz ist, umso größer ist die Spannung, und umso näher ist diese am wahren Wert.

Einflüsse aus einer zu groben Vernetzung bei der Berechnung der Spannungen liegen bei < 30%. Untersucht wurde der Einfluss auf die Vernetzung einer Radiuskerbe. Die Anzahl der Elemente über dem ¼ Kreis wurde variiert:

• 1 Element: Einfluss < 40%, d.h. reale Spannung kann um bis zu 40% höher liegen
• 2 Elemente: Einfluss < 20% d.h. reale Spannung kann um bis zu 20% höher liegen
• 3 Elemente: Einfluss < 10% d.h. reale Spannung kann um bis zu 10% höher liegen
• 4 Elemente: Einfluss < 5% d.h. reale Spannung kann um bis zu 5% höher liegen
• 5 Elemente: Einfluss < 2% d.h. reale Spannung kann um bis zu 2% höher liegen

Empfehlung:

Es wird eine Vernetzung mit mindestens 5 Elementen über dem ¼ Kreis empfohlen um die maximalen Spannungen zu berechnen. Zur Ermittlung der Spannungsgradienten muss das Netz etwa um den Faktor 3 feiner gewählt werden.
Der Einfluss auf die Maximalspannung ist dann mit <2% vernachlässigbar klein.

2.3.3 Einfluss der Wachstumsrate

Um Elemente zu sparen wird die Elementgröße vergrößert, je weiter die Elemente im Inneren des Bauteils liegen. Die Rate, um welche die Elementgröße steigt, bezeichnet man als Wachstumsrate. Eine Wachstumsrate von 1,8 bedeutet beispielsweise, dass die Elemente in der zweiten Elementschicht um den Faktor 1,8 größer sind, als diejenigen in der ersten Schicht, usw. .... Je größer die Wachstumsrate, d.h. je schneller die Größe zunimmt, umso ungenauer werden die FEM Ergebnisse.

Dein Einfluss zeigt obige Abbildung. Für den Einfluss der Wachstumsrate gilt:

• Wachstumsrate < 1,8: Einfluss < 25 %, d.h. reale Spannung kann um bis zu 25% höher liegen
• Wachstumsrate < 1,1: Einfluss vernachlässigbar

Empfehlung:

Es wird empfohlen, in den kritischen Bereichen mit einer Wachstumsrate < 1,1…1,2 zu vernetzen.

2.4 Einfluss der Modellierung

Bei der Modellierung in der FEM wird versucht die reale Belastung bestmöglich in der Software abzubilden. Es gilt die Lasten (z.B. Kräfte, Momente, Temperaturen, …) sinnvoll auf das Bauteil aufzubringen. Gleichzeitig muss das Bauteil mit vernünftigen Randbedingungen versehen werden (z.B. Festhaltungen, Verschiebungen, Symmetrierandbedingungen, …).

Mit der richtigen Vernetzung und den gewählten Werkstoffdaten kann dann das Modell berechnet werden.

Um diesen Einfluss zu bewerten wurde in einer kleinen, nicht repräsentativen Studie der Einfluss der Modellierung grob abgeschätzt. In unseren Seminaren wurden erfahrene Berchnungsingenieure gebeten, unabhängig voneinander den Kranhaken mit einer Last von 15000N zu berechnen. Vorgaben waren das CAD Modell und die Last. Der Rest konnte frei gewählt werden. Da das FEM Modell ein Symmetriemodell war, wurde mit einer Last von 7500N gerechnet.

Folgende Abbildung zeigt die Ergebnisse. Alle Ergebnisse sind hinsichtlich Vernetzung, Elementwahl und Wachstumsrate plausibel und vernünftig. Damit kann der Einfluss der Modellierung bewertet werden.

Nachfolgend werden die verwendeten Modellierungen etwas näher beschrieben. Ausgewertet wurde immer die Vergleichsspannung nach von Mises an der höchstbeanspruchten Stelle an der Innenseite des Kranhakens

2.4.1 Modellierung als Bolzenlast (oben links, σ_max= 741MPa)

Die innere Fläche des Hakens wurde durch eine Bolzenlast belastet. Das ist in Ansys Workbench eine Flächenlast, bei der die Last nicht gleichförmig auf die Fläche aufgebracht wird, sondern analog der Druckverteilung bei einer Bolzenverbindung

Es ergeben sich Spannungen von σ_max= 714 MPa.

2.4.2 Modellierung als Bolzenlast auf einen Teil der Fläche (oben rechts, σ_max= 790 MPa)

Die nur ein Teil der inneren Fläche des Hakens wurde durch eine Bolzenlast belastet. Daduch sollte sichergestellt sein, dass die Last, welche in den Haken eingehängt wird, ja nicht immer auf die gesamte Fläche wirken muss.

Es ergeben sich Spannungen von σ_max= 790 MPa.

2.4.3 Modellierung als Kraft auf eine Fläche (unten links, σ_max=501 MPa)

Die Kraft wurde auf die gesamte rot markierte Fläche aufgebracht. Dazu wurde die Kraft als Druck gleichmäßig auf die Fläche verteilt.

Es ergeben sich Spannungen vonσ_max= 501 MPa.

2.4.4 Modellierung als Kraft auf einen Teil der Fläche (unten rechts, σ_max=791 MPa)

Die Kraft wurde auf einen Teil der Fläche (s. rote Markierung) aufgebracht. Dazu wurde die Kraft als Druck gleichmäßig auf die Fläche verteilt.

Es ergeben sich Spannungen von σ_max=791MPa.

2.4.5 Diskussion der Ergebnisse

Theoretisch sind noch weitere Lastannahmen denkbar. Z.B. die Modellierung eines Bolzens, Punktlasten, …. Die Ergebnisse sind also nur ein Teil aller Möglichkeiten.

Hierfür werden Spannungen zwischen σ_max= 501...791 MPa erreicht. D.h. für den Einfluss der Modellierung / Randbedingungen gilt in dieser Untersuchung:

• Randbedingungen: Einfluss ~ 60 %, d.h. reale Spannung kann um bis zu 60% höher liegen

Man erkennt, dass der Einfluss der Randbedingungen riesig ist! Unglücklicherweise gilt außerdem, dass man nicht sagen kann, welche Modellierung richtig, und welche falsch ist. Denn die richtige Modellierung hängt ja von der Belastung beim Kunden ab.

Empfehlung: Da die richtige Modellierung schwierig ist, werden drei Möglichkeiten empfohlen.

1. Worst Case Annahmen D.h. es werden mehrere Randbedingungen modelliert und simuliert. Es wird dann auf die kritischste Variante mit den höchsten berechneten Spannungen ausgelegt. Beim Kranhaken bedeutet dies z.B. dass verschiedene Einflüsse durch unterschiedliche Kunden / Nutzer berücksichtigt werden und für alle Kunden ein sicherer Betrieb gewährleistet wird.

2. Kunden genau verstehen. Je genauer die Lastsituation beim Kunden verstanden wird, umso genauer kann die Modellierung erfolgen. Dazu muss sichergestellt werden, dass alle für den Kunden relevanten Lasten abgedeckt sind. Dies setzt eine gute Kommunikation voraus.

3. Validierung mit Messungen. Die Randbedingungen in der Simulation können auch durch geeignete Messungen (z.B. DMS) validiert werden. Dadurch lassen sich die Randbedingungen gut überprüfen. Allerdings sind dafür bereits vorhandene Bauteile notwendig.

4 Weitere Einflüsse

Zusätzlich gibt es bei der FEM Berechnung noch die Einflüsse aus

• Dem FEM Programm
• Dem verwendeten Solver
• Der ausgewählten Spannung (Knotenspannung, Elementspannung, …)
• Dem Postprocessing (Spannungsgradient, Spannungsart (Vergleichsspannung, Hauptspannung, Normalspannung, …))

Diese Einflüsse werden hier nicht weiter diskutiert, sollen aber Gegenstand einer zukünftigen Untersuchung sein.

5 Auf den Punkt: