Wöhlerlinien von Kunststoffen – ganz bequem berechnen!

Werkstoffdaten für einen Festigkeitsnachweis sind immer schwierig zu bekommen. Wir zeigen Ihnen wie Sie einfach eine Wöhlerlinie oder Dauerfestigkeit für Kunststoffe (Thermoplaste) berechnen können.

In diesem Artikel lernen Sie,

• Wie Sie die Dauerfestigkeit von thermoplastischen Kunststoffen und
• wie Sie eine Wöhlerlinie für thermoplastische Kunststoffe berechnen können.

1 Hintergrund

Das Feld der Kunststoffe ist weit. Grundsätzlich unterscheidet man bei einem Festigkeitsnachweis und dem mechanischen Verhalten zwischen

• Thermoplasten,
• kurzfaserverstärkten Thermoplasten,
• Elastomeren und
• Duroplasten.

Der Fokus in diesem Artikel liegt auf den Thermoplasten, denn die meisten Kunststoffe die wir benutzen sind Thermoplaste.

Thermoplaste sind dadurch gekennzeichnet, dass Sie bei einer bestimmten Temperatur (thermos = warm) formbar (= plastisch) sind. Dieser Zustand ist reversibel. Das bedeutet, dass der Werkstoff durch weiteres Abkühlen und Erwärmen erneut verformt werden kann.

2 Schadensmechanismen

Die typischen Schadensmechanismen von thermoplastischen Kunststoffen ähnelnd ebenfalls denen der Metalle.

• Statisches Versagen: bei hohen einmaligen Lasten kommt es zu unzulässig hohen plastischen Verformungen oder zum Bruch des Bauteils.
• Kriechen: Bei hohen Temperaturen und gleichzeitig wirkenden mechanischen Lasten kann sich der Werkstoff mit der Zeit bleibend verformen.
• Relaxation: Bei hohen Temperaturen und gleichzeitig wirkenden Dehnungen wird die Festigkeit über der Zeit abnehmen, der Werkstoff relaxiert.
• Schwingbruch: werden Lasten wechselnd (schwingend) aufgebracht, dann kommt es zur Ermüdung des Werkstoffes.

Aber Achtung! Im Gegensatz zu Metallen sind Kunststoffe sehr sensibel bezüglich der Temperatur und der Belastungsfrequenz! Denn mit zunehmender Frequenz der Belastung steigt die Eigenerwärmung im Kunststoff und damit sinkt die Festigkeit. Hohe Frequenzen können bereits bei wenigen Hz liegen.

In diesem Artikel fokussieren wir uns auf das statische Versagen und den Schwingbruch. Die Phänomene Kriechen und Relaxation werden wir deshalb ignorieren.

3 Statische Festigkeitskennwerte von Thermoplasten

In ihrem Werkstoffverhalten ähneln Thermoplaste den Metallen. Die Werkstoffkennwerte für den statischen Festigkeitsnachweis werden im Zugversuch ermittelt. Die Eigenschaften hängen jedoch stark von

• dem Werkstoff,
• der Temperatur (je höher die Temperatur, umso geringer die Festigkeit),
• der Belastungsgeschwindigkeit (je höher die Belastungsgeschwindigkeit, umso höher die Festigkeit)

ab, weshalb diese in Normen (z. B. ISO 527) eindeutig geregelt sind. Wie bei Metallen werden für Thermoplaste ebenfalls Werkstoffe mit ausgeprägter Streckgrenze und Werkstoffe ohne ausgeprägte Streckgrenze unterschieden (siehe folgende schematische Abbildung).

Werkstoffverhalten von Kunststoffen mit und ohne Streckgrenze

Wie in folgender Abbildung gezeigt, werden analog zu Metallen die Bereiche des

• Elastischen Werkstoffverhaltens und des
• Plastischen Werkstoffverhaltens unterschieden.

Der elastische Bereich endet bei der Streckgrenze σ_y (im Falle einer ausgeprägten Streckgrenze) oder bei der Spannung σ_pl,1% bei welcher 1 % plastische Dehnung auftritt (im Falle einer nicht ausgeprägten Streckgrenze). Der Bruch tritt bei der Bruchspannung σ_B ein und die die höchste ertragbare Spannung ist durch die Zugfestigkeit σ_M gekennzeichnet.

Der Festigkeitsnachweis von Thermoplasten kann entweder auf Basis von Dehnungen, oder auf Basis von Spannungen erfolgen. Da IngenieurInnen meistens den spannungsbasierten Festigkeitsnachweis von Metallen kennen, wird für Thermoplaste üblicherweise ebenfalls ein spannungsbasierter Nachweis durchgeführt!

3.1 Maßgebliche Kennwerte

Wie oben beschrieben sind die maßgeblichen Werkstoffkennwerte:

• Gegen Fließen:
  • die Streckgrenze σ_y (im Falle einer ausgeprägten Streckgrenze) oder bei
  • der Spannung σ_pl,1% (im Falle einer nicht ausgeprägten Streckgrenze)
• gegen Bruch:
  • die Bruchspannung σ_B oder
  • die Zugfestigkeit σ_M.

Für einen kompletten statischen Festigkeitsnachweis müssen noch weitere Einflüsse wie Temperaturen, Kriechen,... berücksichtigt werden.

3.2 Berechnung der statischen Festigkeit

Die statische Festigkeit berechnet sich in Abhängigkeit der Werkstoffgruppe (durch den Abminderungsfaktor A_S) und der Streckgrenze σ_Y wie folgt:

σ_stat = A_S ∙ σ_Y

Erfahrungswerte für den Abminderungsfaktor A_S finden sich in folgender Tabelle:

4 Datenbanken für Kunststoffe

Werkstoffdaten können entweder in eigenen Versuchen ermittelt, oder aber aus Datenbanken ausgewählt werden.

Hier finden Sie auch eine Auswahl an kostenlosen Werkstoffdaten für Kunststoffe.

5 Wöhlerlinien von Kunststoffen

Bei der Ermittlung von Wöhlerlinien werden drei Bereiche unterschieden (siehe folgende Abbildung):

Wöhlerlinien von Kunststoffen (HCF, LCF und VHCF)

• Low Cycle Fatigue (LCF) für N < 10⁴ Zyklen, in dem plastischen Dehnungen dominieren, und der Festigkeitsnachweis auf Basis von Dehnungen geführt wird
• High Cycle Fatigue (HCF) für N = 10⁴ …10⁷ Zyklen, in dem die elastischen Dehnungen dominieren und der Festigkeitsnachweis auf Basis von linear-(visko)elastischen Spannungen geführt wird,
• Very High Cycle Fatigue (VHCF) für N > 10⁷ Mangels verfügbarer Daten wird angenommen, dass sich dieser analog zum High Cylce Fatigue Bereich verhält. Eine Dauerfestigkeit wird ausgeschlossen.

Sehr angenehm ist, dass der Festigkeitsnachweis für Thermoplaste im High Cylce Fatigue spannungsbasiert geführt wird. Deshalb gilt auch das Wöhlerlinienkonzept der Metalle! Zur Vertiefung der Themen empfiehlt sich z. B. das Buch zur FEM Berechnung von Kunststoffen^* dessen Verfasser dieses Konzept zur Ermittlung von Wöhlerlinien für Kunststoffe erarbeitet haben.

5.1 Die Wöhlerlinien Gleichung

Das bedeutet, dass die mathematische Beschreibung der Wöhlerlinie für Kunststoffe im HCF Gebiet nach der Gleichung von Basqiun erfolgt:

σ_a = σ_G (N_a/N_G)^-1/k

Mit
σ_a: Spannungsamplitude
σ_G: Grenzspannungsamplitude (Dauerfestigkeit)
N_a: Zyklenzahl bei der Spannungsamplitude σ_a
N_G: Grenzlastspielzahl (N_G = 10⁷)
k: Neigungsexponent

Zur Berechnung der Wöhlerlinie werden also drei Parameter benötigt:

• Die Grenzspannungsamplitude σ_G (Dauerfestigkeit)
• Die Grenzlastspielzahl N_G
• Der Neigungsexponent k

5.2 Die Dauerfestigkeit σ_G von thermoplastischen Kunststoffen (Grenzspannungsamplitude)

Auf die Grenzspannungsamplitude σ_G von Kunststoffen wirken zahlreiche Einflüsse:

• Kerben (Stützwirkung ähnlich wie bei Stahl),
• Werkstoff,
• Temperatur,
• Feuchte,
• Mittelspannungen,
• Belastungsfrequenz,
• …

Für den vereinfachten Festigkeitsnachweis und die Berechnung der Dauerfestigkeit nach Stommel, Stojek und Korte^* wird der Kerbeinfluss (also die Stützwirkung) ignoriert, da dieser positiv wirkt und das Ergebnis damit auf der sicheren Seite liegt.

Die Bauteildauerfestigkeit σ_G wird nach folgender Gleichung berechnet:

σ_G = K_B ∙ K_M ∙ σ_W

Wobei

σ_W die Wechselfestigkeit des Werkstoffes bei Mittelspannung σ_m = 0 (R = -1) ist. Diese kann wie folgt berechnet werden:

σ_W = A_W ∙ K

Einsetzten in obige Gleichung liefert also:

σ_G = K_M ∙ A_W ∙ K

mit
σ_G: Bauteildauerfestigkeit
K_M: der Mittelspannungsfaktor
A_W: der Wechselfestigkeitsfaktor nachfolgender Tabelle
K: Statische Festigkeit aus dem Zugversuch (in Abhängigkeit der Temperatur), der Streckgrenze σ_Y.

5.2.1 Die Berechnung des Wechselfestigkeitsfaktors A­_W

Mit Hilfe des Wechselfestigkeitsfaktors A_W wird die Dauerfestigkeit bei rein wechselnder Last (R = -1) berechnet. Die folgende Tabelle gibt Erfahrungswerte an:

5.2.2 Die Berechnung des Mittelspannungsfaktors K_M

Der Mittelspannungsfaktor wird analog der Berechnung von Stählen in Anlehnung an die FKM Richtline^* durchgeführt. In unserem Artikel zur Berechnung von Mittelspannungen finden sich dazu detaillierte Vorgehensweisen.

Einziger Unterschied ist, dass der Mittelspannungseinfluss anhand der Goodman Gerade im Haigh Diagramm dargestellt wird:

Dauerfestigkeitsschaubild von Kunststoffen (Goodman Gerade)

Wegen des rein linearen Verlaufs des Dauerfestigkeitsschaubildes wird die Mittelspannungsempfindlichkeit M in Abhängigkeit der Wechselfestigkeit σ_W und der Streckgrenze σ_Y berechnet:

M = σ_W / σ_Y.

Zur Berechnung des Mittelspannungsfaktors K_M gelten die Gleichungen aus dem Artikel zur Berechnung von Mittelspannungen in Abhängigkeit des Überlastfalles. Für den häufigsten Überlastfall F2 (konstantes Spannungsverhältnis) gilt:

K_M = 1/(1 + M ⋅ σ_m/σ_a)

mit der Mittelspannung σ_m und der Amplitudenspannung σ_a.

5.3 Die Grenzlastspielzahl N_G von Wöhlerlinien für Thermoplaste

Kunststoffe besitzen im Gegensatz zu Stählen keine Dauerfestigkeit. Deshalb ist die Grenzlastspielzahl N_G als eine Stützstelle der Wöhlerlinie anzusehen. Es wird gewählt:

N_G = 10⁷ Zyklen.

Denn: Die meisten Wöhlerversuche von Kunststoffen werden bis 10⁷ Zyklen gefahren.

5.4 Der Neigungsexponent k von Kunststoff-Wöhlerlinien (Thermoplasten)

Als Erfahrungswerte für den Neigungsexponenten von Wöhlerlinen geben Stommel, Stojek und Korte in ihrem Buch zur FEM Berechnung von Kunststoffen^* folgende Werte an:

Größere Neigungsexponenten führen zu flacheren Wöhlerlinien und damit zu konservativen Ergebnissen.

Streng genommen wird der Neigungsexponent nicht angenommen, sondern zeichnerisch ermittelt, siehe auch folgende Abbildung.

Zeichnerische Ermittlung der Wöhlerlinien-Neigung bei Kunststoffen

Schritt 1:
Dazu wird die statische Festigkeit σ_stat bei N = 1 und die Wechselfestigkeit σ_w bei N = N_G = 10⁷ eingezeichnet.

Schritt 2:
Anschließend werden die beiden Punkte miteinander verbunden.

Schritt 3:
Jetzt kann die Neigung durch Einsetzen der Punkte in die Wöhlerliniengleichung und Auflösen nach dem Neigungsexponenten k berechnet werden:

k = lg(N_G) / lg(A_S/A_W).

6 Auf den Punkt

• Für thermoplastische Kunststoffe können Wöhlerlinien nach dem HCF Konzept analog zu Metallen als Gerade im doppellogarithmischen Netz beschrieben werden.
• Eine Dauerfestigkeit liegt für Kunststoffe nicht vor!
• Mit steigender Belastungsfrequenz bei schwingenden Lasten nimmt auch die Eigenerwärmung im Kunststoff zu. Deshalb wird bei hohen Frequenzen die Festigkeit absinken. Möglich ist dies bereits bei Frequenzen von wenigen Hz.
• Die Grenzlastspielzahl liegt üblicherweise bei N_G = 10⁷
• Als Neigungsexponenten werden konservativ k = 11,39 … 20,44 in Abhängigkeit der Werkstoffgruppe angegeben.
• Die „Dauerfestigkeit“ σ_G des Bauteils berechnet sich in Abhängigkeit der Statischen Festigkeit, und der Mittelspannung. Sie liegt ungefähr um den Faktor 0,17…0,30 geringer als die statische Festigkeit.