Bei der Berechnung der Wöhler Kurve, bzw. bei der experimentellen Ermittlung der Wöhlerkurven hängt die Dauerschwingfestigkeit neben dem Werkstoff auch deutlich von der Mittelspannung ab. Erfahren Sie, wie Sie die Mittelspannungsempfindlichkeit in Anlehnung an die FKM Richtlinie ermitteln und ein Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh interpretieren.

In diesem Artikel lernen Sie,

• Was ein Dauerfestigkeitsschaubild ist
• Wie Sie ein Dauerfestigkeitsschaubild nach Haig in Anlehnung an die FKM Richtlinie berechnen
• Wie Mittelspannungen die Wöhler-Kurve beeinflussen
• Wie die Zugfestigkeit die Mittelspannungsempfindlichkeit beeinflusst

Inhalt

1. Grundbegriffe
   1. Die Wechselfestigkeit
   2. Das Spannungsverhältnis R
2. Einfluss der Mittelspannungen auf die Dauerfestigkeit
3. Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh
4. Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeit
5. Der Überlastfall
6. Dauerfestigkeitsschaubild experimentell ermitteln
7. Zusammenfassung
8. Weitere Informationen

Grundbegriffe

Die Wechselfestigkeit σ_zdw

Die Wechselfestigkeit eines Werkstoffes beschreibt genau die Spannungsamplitude bei der kein Dauerbruch auftritt, wenn die Spannung genau wechselnd ist. Man spricht dann auch von der Dauerfestigkeit des Werkstoffes bei rein wechselnder Zug-Druck Belastung (Spannungsverhältnis R = -1, also einer Mittelspannung von Null, σ_m = 0). Die Wechselfestigkeit von Metallen hängt von der Zugfestigkeit ab. Nachfolgende Tabelle gibt Anhaltswerte für die Wechselfestigkeiten von Stahl, Aluminium und Kupfer in Anlehnung an die FKM Richtlinie.

Das Spannungsverhältnis R

Das Spannungsverhältnis R ist eine Kennzahl zur Beschreibung von Schwingspielen. Es berechnet sich aus dem Verhältnis aus Unterspannung σ_u zu Oberspannung σ_o: R = σ_u / σ_o = (σ_m - σ_a)/(σ_m + σ_a).

Schematische Darstellung eines Schwingspieles inkl. Erklärung des Spannungsverhältnis R

• Rein wechselnde Lasten mit einer Mittelspannung σ_m = 0 MPa haben ein
  Spannungsverhältnis R = -1.
• Rein schwellende Lasten mit einer Unterspannung σ_u = 0 MPa haben ein
  Spannungsverhältnis R = 0.

Prinzipieller Einfluss der Mittelspannungen auf die Dauerfestigkeit

Neben einer rein wechselnder Zug-Druck Belastung (Spannungsverhältnis R = -1, also einer Mittelspannung von Null, σ_m = 0) existieren noch beliebig viele Lastfälle mit anderen Mittelspannungen oder Spannungsverhältnissen. Diese Lastfälle haben dann eine von der Zug-Druck-Wechselfestigkeit σ_zdw verschiedene Dauerfestigkeit σ_AD.

Einfluss der Mittelspannungen auf die Wöhlerkurve

Mittelspannungen im Zugbereich (σ_m > 0 MPa) führen generell zu einer geringeren dauerfest ertragbaren Amplitude σ_AD, wohingegen Druckmittelspannungen (σ_m < 0 MPa) die dauerfest ertragbare Amplitude σ_AD erhöhen (siehe obere Abbildung). Kurz gesagt gilt:

• Zugmittelspannungen senken die Dauerfestigkeit und
• Druckmittelspannungen erhöhen die Dauerfestigkeit.
• Den Zusammenhang zwischen der Mittelspannung und der dauerfest ertragbaren Amplitude liefert der Mittelspannungseinfluss f_M. Wie stark der Werkstoff auf Mittelspannungen reagiert wird über die Mittelspannungsempfindlichkeit M beschrieben.

Eine grafische Darstellung des Mittelspannungseinfluss erfolgt üblicherweise in dem Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh oder Smith.

Das Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh analog der FKM Richtlinie

Im Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh wird die dauerfest ertragbare Amplitude in Abhängigkeit der Mittelspannung dargestellt. Mittelspannungen können als statische Beanspruchungen gesehen werden. Deren Beanspruchbarkeit z. B. die Zugfestigkeit ist. Amplitudenspannungen sind schwingende Spannungen, deren Beanspruchbarkeit die Wechselfestigkeit ist.

Die Beanspruchbarkeit einer beliebigen Überlagerung von Mittelspannung und Amplitudenspannung gibt das Dauerfestigkeitsschaubild an. Dazu werden die dauerfest ertragbare Amplitude auf der Ordinate („y-Achse“) und die Mittelspannung auf der Abszisse („x-Achse“) aufgetragen. Es lässt sich damit sehr anschaulich für eine beliebige Mittelspannung σ_m die dauerfest ertragbare Spannungsamplitude σ_AD ermitteln siehe folgende Abbildung.

Alle Punkte, die auf einer Ursprungsgerade liegen, haben dasselbe Spannungsverhältnis R. Die Punkte auf der Ordinate entsprechen alle einer rein wechselnden Beanspruchung (R = -1). Analog zur Abbildung über den Einfluss der Mittelspannung auf die Wöhlerkurve sinkt die dauerfest ertragbare Spannungsamplitude für Zugmittelspannungen und sie steigt für Druckmittelspannungen (siehe folgendes Bild).

Das Dauerfestigkeitsschaubild nach der FKM Richtlinie lässt sich einfach durch Geradenstücke konstruieren und damit einfach mathematisch beschreiben (siehe untere Abbildung).

Mittelspannungseinfluss am Beispiel des Dauerfestigkeitsschaubildes nach der FKM Richtlinie

Das Dauerfestigkeitsschaubild stellt eine Grenzkurve dar. Wertepaare von wirkenden Spannungen (σ_m|σ_a) die genau auf dieser Grenzkurve liegen, sind dauerfest ertragbar. Es tritt kein Dauerbruch auf.

Liegen diese unterhalb der Grenzkurve sind diese mit einem Sicherheitsfaktor dauerfest ertragbar. Alle Wertepaare oberhalb der Grenzkurve sind nicht mehr dauerfest ertragbar, werden also durch Schwingbruch oder statisch versagen (siehe obige Abbildung Mittelspannungseinfluss am Beispiel des Dauerfestigkeitsschaubildes nach der FKM Richtlinie).

Die Konstruktion des Dauerfestigkeitsschaubildes nach Haigh erfolgt mit Hilfe von vier Geradenstücken, der Mittelspannungsempfindlichkeit M_σ und der Zug-Druck Wechselfestigkeit des Werkstoffes σ_zdw. Die Mittelspannungsempfindlichkeit ist die Steigung der Geraden durch die Zug-Druck Wechselfestigkeit für Spanungsverhältnisse von -∝ < R ≤ 0  (vgl. Abbildung Dauerfestigkeitsschaubild für Normalspannungen unten).

Für Spannungsverhältnisse 0 < R ≤ 0,5 wird als Mittelspannungsempfindlichkeit M'_σ verwendet. Für R > 0,5 und R > 1 verläuft das Dauerfestigkeitsschaubild horizontal. Auf der y-Achse läuft das Dauerfestigkeitsschaubild durch die Zug-Druck-Wechselfestigkeit des Werkstoffes. Auf der x-Achsedurch die statische Festigkeit, symbolisiert durch die Zugfestigkeit.

Dauerfestigkeitsschaubild Haigh für Normalspannungen nach FKM Richtlinie

Die Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeit

Für die Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeiten M_σ und M'_σ liefert die FKM-Richtlinie Näherungsgleichungen:

M_σ = a_m⋅ 10^-3 ⋅ R_m /MPa + b_m

M'_σ =1/3 M_σ

Die zugehörigen Kennwerte fasst nachstehende Tabelle abhängig von der Werkstoffgruppe zusammen. Je spröder und je höherfest der Werkstoff ist, umso steiler ist das Dauerfestigkeitsschaubild. Der Werkstoff reagiert also umso kritischer auf Mittelspannungen je spröder er ist (eine steigende Festigkeit führt gleichzeitig zur Abnahme der Zähigkeit und damit einer höheren Mittelspannungsempfindlichkeit).

Tabelle: Kennwerte zur Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeit

Die Berücksichtigung des Überlastfall nach der FKM Richtlinie

Bei einem Festigkeitsnachweis wird ein Beanspruchungszustand bestehend aus Mittelspannun σ_m und Amplitudenspannung σ_a mit dem Dauerfestigkeitsschaubild verglichen (Abbildung Visualisierung des Mittelspannungseinflusses). Gesucht ist die dauerfest ertragbare Amplitude. Das Problem dabei ist, dass ein Punkt (Beanspruchungszustand) mit einer Kurve (Dauerfestigkeitsschaubild) verglichen werden muss. Damit dies möglich ist, wird eine zusätzliche Information benötigt. Diese liefert der Überlastfall.

Der Überlastfall beschreibt in welchem Verhältnis sich Mittel- und Amplitudenspannung bei einer Laständerung verhalten. In Summe gibt es nach der FKM-Richtlinie folgende Überlastfälle:

1. Überlastfall F1: Konstante Mittelspannung (σ_m = konst.)
2. Überlastfall F2: Konstantes Spannungsverhältnis (R = konst.)
3. Überlastfall F3: Konstante Unterspannung (σ_u = konst.)
4. Überlastfall F4: Konstante Oberspannung (σ₀ = konst.)

Der häufigste Fall ist der sogenannte Überlastfall F2. Er bedeutet eine proportionale Änderung von Mittel- und Amplitudenspannung, also ein konstantes Spannungsverhältnis R.

Visualisierung des Mittelspannungseinflusses

Für den Überlastfall F2 befinden sich alle möglichen Beanspruchungszustände auf der in oberen Abbildung dargestellten Ursprungsgerade durch den zu bewertenden Beanspruchungszustand. Der Schnittpunkt dieser Gerade mit dem Dauerfestigkeitsschaubild ergibt den gerade noch dauerfest ertragbaren Beanspruchungszustand. Dessen Spannungsamplitude ist die gesuchte Dauerfestigkeit σ_D. Das Verhältnis der Zug-Druck Wechselfestigkeit σ_zdw zu dieser Dauerfestigkeit σ_D ist der Mittelspannungseinfluss f_M.

f_M = σ_D / σ_zdw.

Die untere Abbildung zeigt alle Überlastfälle nach der FKM Richtlinie.

Überlastfälle nach der FKM Richtlinie

Jetzt wird deutlich, dass die rechnerische Beschreibung der Dauerfestigkeit

• vom Überlastfall,
• der Mittelspannungsempfindlichkeit M_σ und damit dem Werkstoff sowie der Zugfestigkeit,  als auch davon abhängt,
• in welchem Bereich des Dauerfestigkeitsschaubildes ausgewertet wird.

Für den Überlastfall F2 berechnet sich der Mittelspannungseinfluss f_M wie folgt:

• Für R >1: f_M = 1/(1 - M_σ)
• Für - ∝ ≤ R ≤ 0: f_M = 1/(1 + M_σ ⋅ σ_m/σ_a)
• Für 0 < R < 0,5: f_M = (3 + M_σ)/((1 + M_σ)⋅(3 + M_σ ⋅ σ_m/σ_a))
• Für R ≥ 0,5: f_M = (3 + M_σ)/(3⋅(1 + M_σ)²)

Für die restlichen Überlastfälle wird auf die FKM Richtlinie verwiesen.

Die experimentelle Ermittlung des Dauerfestigkeitsschaubilds nach Haigh und der Mittelspannungsempfindlichkeit

Um für eigene Werkstoffe den Mittelspannungseinfluss experimentell zu ermitteln werden mindestens zwei Versuche benötigt. Ein Versuch zur Ermittlung der Zug-Druck-Wechselfestigkeit σ_zdw (bei R = -1) und ein Versuch mit rein schwellender Beanspruchung zur Ermittlung der Dauerfestigkeit σ_D bei R = 0. Beide Versuche werden in das Dauerfestigkeitsdiagramm eingezeichnet und daraus die Mittelspannungsempfindlichkeit M_σ berechnet:

f_M = σ_D / σ_zdw = 1/(1 + M_σ ⋅ σ_m/σ_a)

wobei für den Schwellenden Fall mit R = 0 gilt: σ_m/σ_a = 1, da σ_m = σ_a. Damit vereinfacht sich obige Gleichung wie folgt:

f_M = σ_D / σ_zdw = 1/(1 + M_σ)

Umformen liefert:

M_σ = σ_zdw / σ_D - 1.

Die Mittelspannungsempfindlichkeit M'_σ für 0 < R < 0,5 berechnet sich nach folgender Gleichung:

M'_σ = 1/3 M_σ.

Auf den Punkt

• Die Wechselfestigkeit eines Werkstoffes beschreibt genau die Spannungsamplitude bei der kein Dauerbruch auftritt.
• Die Wechselfestigkeit von Metallen hängt von der Zugfestigkeit ab
• Das Spannungsverhältnis R ist eine Kennzahl zur Beschreibung von Schwingspielen. Es berechnet sich aus dem Verhältnis aus Unterspannung σ_u zu Oberspannung σ_o.
• Zug-Mittelspannungen führen zu einem Absenken der Dauerfestigkeit, sind also tendenziell kritisch.
• Druck-Mittelspannungen führen zu einem Ansteigen der Dauerfestigkeit, sind also tendenziell positiv.
• Die Mittelspannungsempfindlichkeit beschreibt den Einfluss der Mittelspannungen auf die Dauerfestigkeit in Abhängigkeit der Zugfestigkeit und des Werkstoffes.
• Spröde oder hochfeste Werkstoffe reagieren kritischer auf Mittelspannungen als duktile Werkstoffe.
• Im Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh wird die dauerfest ertragbare Amplitude in Abhängigkeit der Mittelspannung dargestellt. Es lässt sich in Anlehnung an die FKM Richtlinie durch vier Geradenstücke beschreiben.
• Die Steigung der Geradenstücke beschreibt die Mittelspannungsempfindlichkeit M_σ.
• Eine experimentelle Ermittlung des Dauerfestigkeitsschaubildes ist effizient durch nur zwei Versuche bei R = -1 und R = 0 möglich.