Wöhlerlinien nach dem Perlschnurverfahren auswerten

Die Gleichung ist:

Darin ist
σ_a die Spannungsamplitude,
σ_D die Dauerfestigkeit,
N_a die zur Spannungsamplitude σ_D gehörende Zyklenzahl
N_D die Knickpunktzyklenzahl und
k der Neigungsexponent (dieser entspricht der Steigung).

Zur Ermittlung der Wöhlerlinie im Zeitfestigkeitsbereich wird der Wöhlerversuch in der Art geführt werden, dass auf mehreren Lasthorizonten (σ_a,i) Versuche bis zum Bruch gefahren werden. Üblich sind hier zwei Horizonte, siehe dazu auch obige Abbildung.

Jeder Lasthorizont kann anschließend unter Annahme der logarithmischen Normalverteilung separat bezüglich seines Mittelwertes und der Streuung ausgewertet werden.

Ermittlung der Neigung

Der mittlere Verlauf der Wöhlerlinie wird mittels Regressionsrechnung aus den Versuchsdaten bestimmt. Im Falle der Beschreibung der Wöhlerlinie wird in die folgenden Gleichungen  als „x-Werte“ die erklärende Variable eingetragen, also die Spannungsamplituden σ_a,i. Als „y-Werte“ wird die zu erklärende Variable eingetragen, also die Zyklenzahlen N_i.

Dies steht im Gegensatz zur üblichen Vorgehensweise, da bei der Ermittlung der Wöhlerlinie immer die Spannungsamplitude variiert wird und sich die zugehörige Lebensdauer aus dem Versuch ergibt. Die Steigung (Parameter m) berechnet sich analog der Gleichung weiter unten. Da sich die Wöhlerlinie nur im doppellogarithmischen Netz als Gerade darstellen lässt, werden sowohl die x- als auch die y-Werte logarithmiert.

oder einfacher direkt mit dem Excel Formeln:

EXCEL: m = STEIGUNG(lg(N);lg(σ_a))

Der Achsenabschnitt berechnet sich nach:

oder mit Hilfe der Excel Formeln:

EXCEL: c = ACHSENABSCHNITT (lg⁡(N);lg⁡(σ_a))

mit den Mittelwerten:

EXCEL:

EXCEL:

wobei n die Anzahl der Versuche ist. Zur Ermittlung der Wöhlerlinie müssen Dauerfestigkeit σ_D, Knickpunktzyklenzahl N_D und Neigungsexponent k bestimmt werden. Zwischen Neigungsexponent k und Steigung m besteht der Zusammenhang:
k= - m.

Ermittlung der Knickpunktzyklenzahl bei bekannter mittlerer Dauerfestigkeit

Ist die mittlere Dauerfestigkeit σ_D aus den Auswertungen von Dauerfestigkeitsversuchen (z.B. dem Treppenstufenversuch oder Berechnungen bekannt, dann kann die Knickpunktzyklenzahl N_D) aus der der Geradengleichung y=mx+c berechnet:
y = mx+c

lg(N) = m∙lg⁡(σ)+c

mit σ = σ_D kann dann Knickpunktzyklenzahl N_D berechnet werden:

lg(N_D) = m∙lg⁡(_D)+c

mit m und c aus dem obigen Gleichungen bei der Regression.

Ermittlung der mittleren Dauerfestigkeit bei angenommener Knickpunktzyklenzahl

Nicht immer liegen Dauerfestigkeiten vor. In diesem Fall kann auch eine Annahme für die Knickpunktzyklenzahl getroffen werden. Dies ist sicherlich der üblicherer Weg. Für die Knickpunktzyklenzahl gilt nach der FKM Richtlinie in der 7. Auflage* für Metalle
N_D=10⁶.

Die Dauerfestigkeit wird aus der Geradengleichung y=mx+c berechnet:

y = mx+c

lg(N) = m∙lg⁡(σ)+c

mit N_D = 10⁶ und σ = σ_D kann dann die Dauerfestigkeit σ_D berechnet werden:

lg(N_D) = m∙lg⁡(σ_D)+c

σ_D = (N_D/10^c)^1/m.

mit m und c aus dem obigen Gleichungen bei der Regression.

Hinweis: Die nach diesem Vorgehen ermittelte Dauerfestigkeit ist als Stützpunkt der Wöhlerlinie anzusehen. Für eine konservativere Auslegung kann mit N_D=10⁷ gerechnet werden. Für eine genaue experimentelle Ermittlung der Dauerfestigkeit sind spezielle Verfahren wie das Treppenstufenverfahren oder das Probitverfahren notwendig.

Praxistipp:

Allgemein gilt:

• Wenn wenig über den Werkstoff bekannt ist, dann sollte das Perlschnurverfahren die erste Wahl sein.
• Weichen die Ergebnisse von einer Geraden ab (z. B. zu hohe oder zu niedrige Horizonte, dann können diese aus der Auswertung entfernt werden)

Für die Versuchsplanung gilt:

• Für die Auswahl des ersten Versuchspunktes empfiehlt es sich die Wöhlerlinie nach z. B. der FKM Richtlinie in der 7. Auflage* zu berechnen und den ersten Versuch im Schwerpunkt der Wöhlerlinie bei N = 10⁵ Zyklen zu platzieren.
• Versuche möglichst weit voneinander entfernt platzieren. Dann ist die Auswertung bezüglich der Neigung deutlich robuster. Gut ist, wenn der höchste Lasthorizont bei etwa N1 = 2*10⁴  und der niedrigste bei N2 = 5*10⁵ Zyklen liegt.
• Mit etwa 10 Proben kann der mittlere Verlauf der Wöhlerlinie gut experimentell bestimmt werden.
• Je besser die Versuchsvorbereitung, umso effizienter ist die Versuchsführung.

Für die Versuchsdurchführung gilt:

• Beginnen Sie mit Versuchen, die möglichst geringe Lebensdauern (ca. N = 10⁵) aufweisen, da diese relativ schnell ein Ergebnis liefern. Denken Sie daran, dass zwischen einer Lebensdauer von N = 10⁵  und N = 10⁶ der Faktor 10 liegt! Dauert der erste Versuch drei Stunden, dann dauert der zweite Versuch bereits 30 Stunden!
• Arbeiten Sie sich dann von hohen Lasthorizonten zu den niedrigen Lasthorizonten durch.

Auf den Punkt:

• Das Perlschnurverfahren ist ideal, wenn Sie wenig über den Werkstoff oder das Bauteil wissen.

Der mittlere Verlauf der Wöhlerlinie:

• Mit Hilfe der Regression wird der mittlere Verlauf der Wöhlerlinie berechnet.
• Bei Wöhlerlinien werden quadratische Abweichungen in x-Richtung (Lebensdauerrichtung N) minimiert

Allgemein:

• Versuche möglichst weit voneinander entfernt platzieren. Dann ist die Auswertung bezüglich der Neigung deutlich robuster.
  für die Auswahl des ersten Versuchspunktes empfiehlt es sich die Wöhlerlinie nach z. B. der FKM Richtlinie in der 7. Auflage* zu berechnen und den höchsten Lasthorizont bei N1 = 2*10⁴  und der niedrigste bei N2 = 5*10⁵ Zyklen zu wählen.
• Beginnen Sie mit Versuchen, die möglichst geringe Lebensdauern (ca. N = 10⁵) aufweisen, da diese releativ Schnell ein Ergebnis liefern. Denken Sie daran, dass zwischen einer Lebensdauer von N =10⁵ und N =10⁶ der Faktor 10 liegt! Dauert der erste Versuch drei Stunden, dann dauert der zweite Versuch bereits 30 Stunden!