Effizienter statischer Festigkeitsnachweis nach der FKM Richtlinie Teil 1/2

Und zusätzlich haben wir die Software zur FKM Richtlinie FKMmadeEASY um den Nennspannungsnachweis ergänzt. Damit können Sie jetzt einen Festigkeitsnachweise nach der gesamten FKM Richtlinie in der 6. Auflage bequem und schnell mit unserer Software durchführen.

In diesem Artikel lernen Sie,

• • Welche Einflüsse die statische Festigkeit beschreiben
  • Wie Sie bei dem Festigkeitsnachweis Zeit sparen können, indem Sie nur die wichtigen Faktoren berechnen.

Inhalt

1. Grundidee
2. Einflüsse auf die statische Festigkeit
   1. Festigkeitsmindernde Einflüsse
   2. Festigkeitssteigernder Einfluss
      1. Hintergrund
      2. Berechnung
3. Tipps
4. Zusammenfassung
5. Ausblick

1. Grundidee

Die Anzahl der Einflüsse auf die Schwingfestigkeit und die statische Festigkeit ist hoch. Deshalb betrachten wir beide Nachweise separat und sortieren die einzelnen Einflüsse nach Ihrer Wirkung auf. Denn es gibt

• Festigkeitsmindernde (z.B. Temperatur) und
• Festigkeitssteigernde Einflüsse (z.B. Stützwirkung).

Diese Einteilung hat einen wesentlichen Vorteil in Bezug auf die Effizienz bei einem Festigkeitsnachweis:

• Festigkeitsmindernde Einflüsse müssen bei einem Nachweis berücksichtigt werden, wohingegen
• Festigkeitssteigernde Einflüsse im ersten Schritt vernachlässigt werden können.

Welchen Vorteil bietet jetzt dieses Vorgehen?

Wenn der Nachweis nach dieser Vorgehensweise erfolgreich ist, dann hat man sich die (teilweise aufwändige) Berechnung der festigkeitssteigernden Einflüsse gespart. Der Nachweis liegt somit auf der sicheren Seite, und war relativ effizient.

Ist der Nachweis nach der Vorgehensweise nicht erfolgreich, dann kann man schrittweise die festigkeitssteigernden Einflüsse in den Nachweis mit aufnehmen.

2. Einflüsse auf die statische Festigkeit

Die statische Festigkeit wird neben dem Werkstoff (der Fließgrenze R_p und der Zugfestigkeit R_m) im Wesentlichen durch die folgenden Einflüsse beschrieben.

2.1.     Festigkeitsmindernde Einflüsse

Vier Faktoren beeinflussen die statische Festigkeit negativ:

• Technologischer Größenfaktor K_d, bewertet den Festigkeitsabfall bei steigender Bauteilgröße.
• Temperatur K_T, berechnet die Absenkung der Festigkeit bei hoher Temperatur
• Anisotropie Faktor K_A, beachtet den Einfluss der Bearbeitungsrichtung auf die Festigkeit.
• Graugussfaktor K_NL, berücksichtigt das unterschiedliche Zug- und Druckverhalten bei GJL.

Alle Faktoren senken die Festigkeit ab, sie nehmen Werte kleiner/gleich eins an. Deswegen müssen diese in einem Festigkeitsnachweis immer berücksichtigt werden! Der Vorteil hier ist aber, dass die Berechnung dieser Faktoren vergleichsweise einfach ist.

2.2.     Festigkeitssteigernder Einfluss: die plastische Stützzahl

Den festigkeitsmindernden Einflüssen steht ein festigkeitssteigernder Einfluss gegenüber. Das ist die plastische Stützzahl. Die plastische Stützzahl wirkt positiv und nimmt Werte größer/gleich eins an. Sie wirkt nur auf die Streckgrenze. Die Zugfestigkeit wird dadurch nicht beeinflusst! In diesem Artikel von uns finden Sie weitere Hintergründe zur plastischen Stützzahl und deren Berechnung.

2.2.1.            Hintergrund der plastischen Stützzahl

Folgende Abbildung zeigt schematisch den Spannungsverlauf im Bauteil. Das obere Bild stellt den Spannungsverlauf bei Annahme des linear-elastischen Werkstoffverhaltens dar. Erkennbar ist, dass wegen der Kerbe nur ein kleiner Teil des Querschnittes plastische Verformungen aufweist, obwohl die maximalen Spannungen sehr deutlich oberhalb der Streckgrenze liegen. Im unteren Bild von folgender Abbildung ist der Spannungsverlauf bei Annahme des linear-elastisch ideal-plastischen Werkstoffverhaltens schematisch skizziert. Da der Werkstoff bei Erreichen der Streckgrenze zu fließen beginnt, sind die maximalen Spannungen durch die Streckgrenze begrenzt.

Erklärung der plastischen Stützzahl nach der FKM-Richtlinie

Der Flächeninhalt der Spannungsverteilung ist proportional zur Kraft F. Bei der Berücksichtigung von plastischem Werkstoffverhalten vergrößern sich die plastischen Bereiche. Zusätzlich nehmen auch die Spannungen im elastischen Bereich zu. Der Flächeninhalt der Spannungsverteilung bleibt sowohl bei Annahme von linear-elastischem, also auch bei plastischem Werkstoffverhalten wegen der Proportionalität zur Belastung durch die Kraft F gleich. Allerdings steigt die Dehnung in den plastischen Bereichen an.

Es werden die hoch beanspruchten (plastisch verformten) Bereiche des Bauteils durch die noch elastisch beanspruchten Bereiche gestützt. Für den Festigkeitsnachweis können deshalb für die höchst beanspruchte Stelle plastische Dehnungen zugelassen werden -> Stützwirkung.

Um diese Stützwirkung beim Festigkeitsnachweis zu berücksichtigen, wird die Streckgrenze R_e um die plastische Stützzahl n_pl erhöht. Als ertragbare Beanspruchung σ_ert gilt damit

σ_ert = R_e · n_pl.

2.2.2.            Berechnung der plastischen Stützzahl, Kapitel 3.3.1.1 bzw. 1.3.1.1

Die Plastische Stützzahl n_pl beschreibt die Stützwirkung des Materials, indem plastische Dehnungen bei duktilen Werkstoffen gezielt zugelassen werden (siehe dazu den Artikel zur Berechnung der plastischen Stützzahl). Dazu werden zwei Kriterien überprüft, welche beide eingehalten werden müssen:

1. das Erreichen der ertragbaren plastischen Dehnung und
2. das Erreichen der Plastifizierung des gesamten Querschnitts.

Deshalb setzt sich die plastische Stützzahl aus zwei Teilen zusammen, von denen der kleinere Maßgebend ist:
n_pl = MIN[(E · ε_ert /R_p)^1/2; K_p]

Darin ist

• Die Plastische Formzahl K_p ist der Faktor, um den die Last erhöht werden kann, bis der gesamte Querschnitt plastisch verformt ist und
• Die Ertragbare Dehnung ε_ert (gibt an, bei welcher plastischen Dehnung mit Versagen zu rechnen ist).
• Es ist E der E-Modul, ε_ert die ertragbare Dehnung und R_p die Fließgrenze.

3. Tipps für den statischen Nachweis

Für einen effizienteren Nachweis gibt es zwei Tipps:

1. Vernachlässigung der plastischen Stützzahl (nach Kapitel 3.3.1.1 bzw. 1.3.1.1)
2. Einfachere Berechnung der plastischen Formzahl beim Nachweis von FEM Ergebnissen

Zu 1) Vernachlässigung der plastischen Stützzahl

Auf Grund ihrer festigkeitssteigernden Wirkung kann die plastische Stützzahl bei einem Festigkeitsnachweis auch vernachlässigt werden. Dazu wird ihr einfach der Wert

n_pl = 1

zugewiesen. Dies ist insbesondere deshalb attraktiv, da die Berechnung der plastischen Formzahl K_p bei Verwendung der FEM Ergebnisse der rechenaufwändigste Schritt beim statischen Festigkeitsnachweis ist. Denn zur Berechnung von K_p muss eine nichtlineare FEM (elastisch-plastische Berechnung) erfolgen.

Zu 2) Einfachere Berechnung der plastischen Formzahl

Die Erfahrung zeigt, dass vor allem für duktile Werkstoffe die plastische Formzahl K_p das begrenzende Kriterium ist. Gleichzeitig ist sie auch die am aufwändigsten zu ermittelnde Kenngröße. Insbesondere, wenn sie mit FEM berechnet wird. Ihr gilt deshalb besondere Aufmerksamkeit.

Zwei Beispiele eines Bezugsquerschnittes bei einem KranhakenSollen FEM Ergebnisse bewertet werden, dann wird die plastische Formzahl K_p gerne mit einer elastisch-plastischen FEM bestimmt wird. Dies kann sehr aufwändig werden! Denn die elastisch-plastische FEM Berechnung ist immer eine iterative Lösung, die mehr oder weniger gut konvergiert. Als Alternative bietet sich die Abschätzung der plastischen Formzahl K_p durch Näherungslösungen (nach z.B. Tabelle 1.3.2 der FKM Richtlinie in der 6. Auflage) an. Möglich ist dies, wenn ein Bezugsquerschnitt definiert werden kann (siehe dazu auch obige Abbildung).

Tabelle 1.3.2 nach FKM Richtlinie von 2012, 6. Auflage

Der Aufwand einer FEM Berechnung ist gerechtfertigt, wenn Tragreserven gehoben werden müssen. Denn die Näherungslösungen für die Berechnung der plastischen Formzahl K_p auf Basis der Bezugsquerschnitte sind konservative Annahmen! Hier wird nur der Einfluss der Belastung (Biegung oder Torsion) und der Geometrie (Rechteck, Kreis, …) berücksichtigt. Der Einfluss der Kerben wird vernachlässigt. Das Bedeutet, dass auf Zug beanspruchte, gekerbte Bauteile nach diesen Näherungslösungen eine plastische Formzahl von K_p = 1 haben. Wird dagegen für die auf Zug beanspruchten, gekerbten Bauteile die plastische Formzahl K_p mit der FEM berechnet, ergeben sich Werte von K_p > 1

Es wird folgendes Vorgehen vorgeschlagen:

1. in einem ersten Schritt wird die plastische Stützzahl vernachlässigt.
2. Ist dieser Nachweis nicht ausreichend, dann sollte die plastische Formzahl (wenn ein Bezugsquerschnitt definiert werden kann) nach Tabelle 1.3.2 der Richtlinie abgeschätzt werden.
3. Ist der Nachweis dann immer noch nicht erbracht, muss die plastische Formzahl mit Hilfe einer elastisch-plastischen FEM Berechnung berücksichtigt werden.3

Einfache und schnelle Bewertung der plastischen Stützzahl

4. Auf den Punkt

Als Fazit gilt:

• sollte bei Vernachlässigung der plastischen Stützzahl der Festigkeitsnachweis bereits erfolgreich sein, dann liegt dieser auf der sicheren Seite.
• Falls nein, dann muss die plastische Stützzahl beim Nachweis nach Kapitel 3.3.1.1 bzw. 1.3.1.1 berücksichtigt werden. Entweder über die Näherungslösungen (Tabelle 1.3.2, sofern ein Bezugsquerschnitt definiert werden kann), oder über eine elastisch-plastische FEM Rechnung.

In vielen Fällen sollte durch dieses Vorgehen der Aufwand eines Nachweises deutlich reduziert werden.

Zusätzlich bieten wir ihnen als Bonus die FKM-Richtlinie Software FKMmadeEASY für den statischen Nachweis kostenlos an.

5. Ausblick

In einem folgenden Artikel werden wir die gleiche Bewertung für den Schwingfestigkeitsnachweis durchführen. Seien Sie gespannt 😉