Schadensakkumulation: Erklärung und Empfehlung der Miner-Regel

Bei der Berechnung der Lebensdauer wird die Wöhlerlinie mit einem beliebigen Lastkollektiv verglichen. Dazu verwendet man üblicherweise eine Schadensakkumulationshypothese. Finden Sie heraus, was dahinter steckt, und warum auch Lasten unterhalb der Dauerfestigkeit schädigen können.

In diesem Artikel lernen Sie, wie Sie

• Wie Sie ein Spannungskollektiv mit einer Wöhlerlinie vergleichen können
• Was die Schadensakkumulation nach Miner ist und wie diese einfach funktioniert
• Welche Modifikationen der Miner-Regel es gibt

Inhalt

1. Grundlagen
2. Modifikation der Miner-Regel
3. Vergleiche der Modifikationen
   1. Miner Haibach
   2. Miner Elementar
   3. Miner Konsequent
   4. Miner Liu-Zenner
   5. Miner Eurocode
4. Auf den Punkt
5. Weitere Informationen

Grundlagen der Schadensakkumulation nach Miner

Über den Vergleich der Beanspruchungen (Spannungskollektiv) mit der Beanspruchbarkeit (Bauteilwöhlerlinie) wird die Lebensdauer berechnet.

Dazu wird für jede Kollektivstufe mit der Spannungsamplitude σ_a,i die Anzahl der auftretenden Schwingspiele n_i  aus dem Amplitudenkollektiv bestimmt und mit der Anzahl der ertragbaren Schwingspiele N_i  aus der Bauteilwöhlerlinie bei gleicher Spannungsamplitude verglichen. Der Quotient aus auftretender zu ertragbarer Schwingspielzahl ist die Teil-Schädigung d_i  jeder Kollektivstufe:

d_i = n_i  / N_i 

für eine Spannungsamplitude (siehe untere Abbildung). Es wird dabei die Annahme getroffen, dass Spannungsamplituden unterhalb der Dauerfestigkeit zu keiner Schädigung des Bauteils führen. Bei der Schadensakkumulationshypothese nach Miner (Miner-Regel), führt die Summe aller Teilschädigungen zur Schadenssumme des Amplitudenkollektives D_Koll:

D_Koll =  Σ d_i = =  Σ (n_i  / N_i ).

Schematische Darstellung der linearen Schadensakkumulation nach der Miner Regel

Erreicht die Schadenssumme den Grenzwert D_Grenz = 1, ist das Lebensdauerende erreicht. Ist die Schadenssumme des Amplitudenkollektives D_Koll < 1 bedeutet dies, dass das Kollektiv p-mal bis zum Erreichen der Schadenssumme D_Grenz wiederholt werden kann:

D_Grenz = 1 = p · D_Koll.

Dabei ist zu beachten, dass nur ganzzahlige Wiederholungen i des Kollektivs erlaubt sind, bis die Grenzschadenssumme erreicht ist. Da ein Lastkollektiv einen gewissen Teil der Bauteillebensdauer repräsentiert (z. B. 10 000 km, oder 100 h, oder N Zyklen (N = Σ n_i) kann die Bauteillebensdauer aus der Dauer des Lastkollektives durch einfache Multiplikation mit dem Faktor p berechnet werden:

Bauteillebensdauer = p · Dauer des Kollektives.

Diese Form der Miner-Regel wird auch als originale Form der Miner-Regel (oder kurz Miner Original) bezeichnet. Es wird hier angenommen, dass

1. die Hysterese-Energie im zyklischen Spannungs-Dehnungsdiagramm das Maß der Schädigung ist und über die Lebensdauer konstant bleibt.
2. Spannungsamplituden unterhalb der Dauerfestigkeit nicht schädigen und
3. es keinen Einfluss der Reihenfolge der Schwingspiele gibt.

Die Schadensakkumulation kann entweder für das Ausfallkriterium Anriss oder Bruch erfolgen, je nach dem, für welches Ausfallkriterium die Wöhlerlinie ermittelt wurde.

Sehr schnell zeigte sich jedoch, dass die mit der originalen Form der Miner-Regel berechneten Lebensdauern zu optimistisch waren. Diese Erkenntnis führte zu Modifikationen der originalen Form der Miner-Regel.

Modifikationen der Miner-Regel

Zur Erklärung, warum eine Modifikation der Miner-Regel sinnvoll ist, wird noch kurz die Vorgehensweise zur Ermittlung von Wöhlerlinien in Erinnerung gerufen. Dazu wird eine unversehrte Probe mit einer konstanten Spannungsamplitude (z. B. σ_a,1) bis zum Versagen (z. B. Bruch) beansprucht und die bis zum Bruch ertragbare Zyklenzahl N_Bruch,1 notiert. Bis zum Bruch durchläuft die Probe also die Phasen der Rissbildung, des Risswachstums und des Bruchs (siehe untere Abbildung). Auf dieselbe Art werden weitere Spannungsamplituden geprüft.

Phasen des Rissfortschritts bei einer Wöhlerlinie

Angenommen, der Versuch bei der Spannungsamplitude σ_a,1 wird vor Erreichen der ertragbaren Zyklenzahl bei n₁ < N_Bruch,1  Zyklen unterbrochen. Dann liegt eine vorgeschädigte Probe vor, bei der sich bereits ein Riss gebildet hat. Diese angerissene Probe hat natürlich eine (Rest-) Lebensdauer N'_Bruch,1 die geringer ist als die Lebensdauer der ungeschädigten Probe N_Bruch,1.

Zurück zur originalen Form der Miner-Regel. Dazu betrachten wir ein sehr einfaches Kollektiv, das nur aus zwei Kollektivstufen σ_a,1  und σ_a,2 mit den Häufigkeiten n₁  und n₂  besteht. Für dieses Kollektiv soll die Lebensdauer berechnet werden. Beide Kollektivstufen liegen oberhalb der Dauerfestigkeit (vgl. untere Abbildung).

Angenommen, die Belastung erfolgt zuerst auf der ersten Kollektivstufe σ_a,1 und wird danach auf der zweiten Stufe σ_a,2 fortgesetzt. Dann wurde der Versuch mit einem ungeschädigten Bauteil begonnen. Nach der Theorie der originalen Form der Miner-Regel ist die Schädigung der ersten Kollektivstufe der Quotient aus wirkender Zyklenzahl zu ertragbarer Zyklenzahl d₁ = n₁  / N₁. Soweit so gut. Nach Erreichen von n₁  Zyklen ist das Bauteil vorgeschädigt. Symbolisiert durch den Anriss in unterer Abbildung.

Nun wird dieses vorgeschädigte Bauteil auf der zweiten Kollektivstufe mit σ_a,2 beansprucht. Es wird nun aber auf Grund der Vorschädigung aus der ersten Kollektivstufe bei der Zyklenzahl N'₂ brechen, die kleiner ist als die zur Wöhlerlinie gehörende ertragbare Zyklenzahl N₂. Damit ist die Schädigung d₂ = n₂  / N₂, die nach der originalen Form der Miner-Regel berechnet wird, kleiner als die reale Schädigung d'₂:

d₂ = n₂  / N₂ < d'₂ = n₂  / N'₂

Diese Vorschädigungen führen dazu, dass die Dauerfestigkeit mit zunehmender Schädigung abfällt. Um diesen Effekt zu berücksichtigen, existieren verschiedene Modifikationen der Miner-Regel, siehe untere Abbildung.

Modifikationen der Miner Regel zur Schadensakkumulaion

Kurzvergleich der Modifikationen der Miner-Regel

Auf Grund der Vielzahl der Modifikationen ist ein kurzer Vergleich sinnvoll.

Miner Haibach

Hier wird angenommen, dass die Wöhlerlinie nach der Dauerfestigkeit weiter abfällt. Die Schädigung von Spannungsamplituden unterhalb der Dauerfestigkeit wird mit einer fiktiven Wöhlerlinie mit der Neigung von k* = 2k - 1 berechnet.

Trotz dieser relativ einfachen Näherung ist diese Methode in Ihrer Treffsicherheit vergleichbar mit der konsequenten Form der Miner-Regel. Sie wird sehr häufig angewendet.

Miner Elementar

In der elementaren Form der Miner-Regel wird angenommen, dass keine Dauerfestigkeit existiert. Es schädigen also alle Schwingspiele unterhalb der Dauerfestigkeit genauso wie Schwingspiele oberhalb der Dauerfestigkeit. Dazu wird der Zeitfestigkeitsbereich der Wöhlerlinie bis zu Spannungsamplituden von Null verlängert. Die elementare Form der Miner-Regel ist der konservativste Fall der Miner-Regel.

Bist du dir unsicher, welche Regel du verwenden sollst? Dann nehme Miner-Elementar. Diese Modifikation wird von der FKM-Richtlinie empfohlen

Miner konsequent

Die konsequente Form der Miner Regel berücksichtigt den schrittweisen Abfall der Dauerfestigkeit mit zunehmender Schädigung. Es wird die Dauerfestigkeit der Wöhlerlinie des vorgeschädigten Bauteils gegenüber der ursprünglichen Wöhlerlinie abgesenkt. Dieses Vorgehen ist nur iterativ möglich. Es wird eine Software benötigt und viel Verständnis vorrausgesetzt. Für Einsteiger ist diese Form der Miner Regel nicht zu empfehlen.

Die konsequente Form der Miner-Regel wird vor allem empfohlen, wenn die Kollektivhöchstwerte nahe der Dauerfestigkeit liegen. In diesen Fällen sind die anderen Formen der Miner-Regel häufig zu konservativ. Sie wird außerdem von der FKM-Richtlinie empfohlen.

Miner Liu-Zenner

Zenner und Liu schlagen in der von ihnen modifizierten Form der Miner-Regel die Verwendung einer Bezugswöhlerlinie vor. Dabei wird die Bauteilwöhlerlinie in Höhe des Kollektivhöchstwertes gedrehtund die Dauerfestigkeit abgesenkt.

Diese Form der Miner-Regel findet kaum praktische keine Anwendung.

Miner modifiziert mit Untergrenze (Eurocode)

Diese Form der Miner-Regel entstammt dem Eurocode 3.

Miner-Regel des Eurocode 3 (Miner modifiziert mit Untergrenze)

Die Schädigung von Spannungsamplituden unterhalb der Dauerfestigkeit wird mit einer fiktiven Wöhlerlinie mit der Neigung k* = 2k - 1 (ähnlich wie bei Miner-Haibach) berechnet. Im Gegensatz zu Miner Haibach, wird aber angenommen, dass Spannungsamplituden σ < σ_D,II zu keiner weiteren Schädigung führen. σ_D,II kann somit als eine Art Dauerfestigkeit interpretiert werden. Üblicherweise wird diese in Abhängigkeit der Zyklenzahl N_D,II angegeben. In grober Näherung gilt: N_D,II = 10⁸ und σ_D,II ≈ 0,5 σ_D,I.

Auf den Punkt:

• Auf Grund der Vorschädigung im Falle einer Kollektivbelastung, sinkt die Dauerfestigkeit schrittweise ab. Die originale Form der Miner-Regel ist nicht mehr anwendbar.
• Mit der Schadensakkumulation sind zuverlässige Aussagen möglich, wenn mit einer Modifikation der Miner-Regel gearbeitet wird.
• Sind Sie sich unsicher, welche Regel Sie verwenden sollen? Dann nehmen Sie Miner-Elementar.
• Die konsequente Form der Miner-Regel wird vor allem empfohlen, wenn die Kollektivhöchstwerte nahe der Dauerfestigkeit liegen.
• Hier finden Sie ein Beispiel zur Lebensdauerberechnung.