Die Neuber-Regel. Oder: warum plastische Verformungen gut sind und wie Sie Bauteile mit der plastischen Stützzahl höher auslasten

Inhalt

• Grundlagen
• Eine Analogie
• Die Neuber-Regel
  • Defintion
  • Anwendung
  • Herleitung
• Die Plastische Stützzahl
  • Defintion
  • Berechnung
  • Herleitung
• Fazit
• Potenziale
• Zusammenfassung

1 Grundlagen

Insbesondere bei gekerbten Bauteilen treten die maximalen Spannungen oftmals stark konzentriert in den Kerben auf. Überschreiten die Kerbspannungen die Streckgrenze, plastifiziert der Werkstoff lokal eng begrenzt. Mit einer globalen Verformung oder dem Versagen des Bauteiles ist deswegen nicht zu rechnen. Siehe folgende Abbildung.

Erklärung der Spannungsumlagerung auf Grund von plastischen Verformungen

Es werden die hoch beanspruchten (plastisch verformten) Bereiche des Bauteils durch die noch elastisch beanspruchten Bereiche gestützt. Für den Festigkeitsnachweis können deshalb für die höchst beanspruchte Stelle plastische Dehnungen zugelassen werden. Man spricht deshalb auch von einer Stützwirkung.

Die folgende Abbildung zeigt eine FEM Berechnung unter Annahme von linearelastisch-idealplastischem Werkstoffverhalten. Die Skala der FEM Berechnung ist so eingestellt, dass allen Spannungen ab der Streckgrenze die rote Farbe zugewiesen wird. Im linken Teil der Abbildung ist der Verlauf der Last (Kraft F) über der Verformung dargestellt.

Bei der Last L_elastisch wird an der höchst beanspruchten Stelle gerade die Streckgrenze erreicht. Der größte Teil des Querschnitts sieht nur elastische Verformungen. Wird die Last weiter gesteigert (F > L_elastisch) erfahren immer größere Bereiche eine plastische Verformung. Bei Erreichen der Kraft F = L_{vollplastisch} erfährt der gesamte Querschnitt eine plastische Verformung.

Im Kraft-Verschiebungsdiagramm (linkes Bild von unterer Abbildung) sieht man, dass das globale Bauteilverhalten bis zur Kraft L_{vollplastisch} noch linear ist. Erst für Kräfte oberhalb von L_{vollplastisch} verformt sich das Bauteil global plastisch. Diese Last wird als Traglast bezeichnet.

Die Ermittlung der vollplastische Formzahl Kp mit FEM

Bauteile bei denen plastische Dehnungen zugelassen werden, müssen deshalb gegen zwei Versagensmechanismen abgesichert werden:

1. gegen zu große plastische Dehnungen (das Dehnungskriterium) und
2. gegen große Verformungen (die Traglast).

Mathematisch wird der Einfluss der plastischen Dehnung durch die plastische Stützzahl n_pl beschrieben. Die Berechnung der plastischen Dehnungen und damit der plastischen Stützzahl fußt auf der Neuber-Regel.

2 Eine Analogie aus dem Alltag

Will man ein Loch in ein Metallblech bohren, wird üblicherweise vorgekörnt. Dies verhindert das weglaufen des Bohrers. D. h. man treibt die Spitze eines Körners durch einen Hammerschlag an der zu bohrenden Stelle in das Material. Dadurch wird eine kleine Mulde im Werkstoff erzeugt, in welche die Bohrerspitze eingesetzt werden kann und dann nicht mehr wegläuft.

Körner zum Anbringen einer Körnung im Metall

Will man ein Loch in ein Glas bohren, wird dagegen nicht vorgekörnt. Denn dies würde sofort zum Bruch der Glasscheibe führen.

Was kann man daraus schließen?

In beiden Fällen führt der Hammerschlag auf den Körner zu sehr hohen Spannungen an der Körnerspitze. Denn die Hammerspitze ist sehr klein, und dadurch entstehen selbst bei kleinen Kräften sehr hohe Spannungen. Diese liegen deutlich über der Streckgrenze und z. T. über der Zugfestigkeit des Bauteils.

Nach der klassischen Festigkeitslehre müssten beide Werkstoffe also brechen. Die Praxis gibt ein anderes Bild. Ursächlich dafür ist, dass es sich bei dem Metallblech um ein duktiles (weiches, verformungsfreudiges) und bei dem Glas um ein sprödes Material handelt. Im ersten Fall wird der Werkstoff plastifizieren. Es werden die hohen Spannungen also durch plastische Verformungen umgelagert. Dagegen hat das Spröde Glas diese Möglichkeiten nicht.

D. h. duktile Werkstoffe haben das Potenzial plastische Verformungen problemlos bis zu einer gewissen Grenze zu ertragen. Diese Potenziale werden durch die plastische Stützzahl n_pl im Maschinenbau berücksichtigt und auf Basis der Neuber-Regel berechnet.

Es muss jedoch sichergestellt werden, dass sich das Bauteil nicht global so stark plastisch verformt, dass dessen Funktion nicht mehr gewährleistet werden kann. Diesen Nachweis führt man über die vollplastische Formzahl K_p.

Für den Festigkeitsnachweis müssen immer beide Faktoren (die plastische Stützzahl n_pl → das Verformungskriterium und die vollplastische Formzahl K_p → die Traglast) berücksichtigt werden.

2 Die Neuber-Regel

Um plastische Dehnungen in der Bauteilauslegung zulassen zu können, müssen diese berechnet werden. Dafür wird gerne die FEM genutzt und das reale Spannungs-Dehnungsdiagramm als Werkstoffgesetz genutzt.

Mit Hilfe der Neuber-Regel können linearelastische Spannungen in elastisch-plastischen Spannungen analytisch, also ohne FEM umgerechnet werden. Dies gibt einem einen großen Vorteil bezüglich der Rechenzeit.

Begrenzt ist die folgende Form der Neuber-Regel auf Bauteile, bei denen der Nettoquerschnitt nicht plastifiziert. Es dürfen also nur die Kerbspannungsanteile plastifizieren.

Möchte man auch Bauteile berechnen, bei denen der Nettoquerschnitt plastifiziert, dann muss mit der erweiterten Neuber-Regel gearbeitet werden.

3.1 Definition der Neuber-Regel

Die Neuber-Regel ist dadurch definiert, dass das Produkt aus Spannung und Dehnung immer konstant ist:

Spannung · Dehnung = konstant.

Alle Punkte die dieser Funktion genügen liegen auf einer Hyperbel, wie die Umformung obiger Gleichung nach der Spannung zeigt:

Spannung = Konstante/Dehnung.

Deshalb wird diese Funktion auch als Neuber-Hyperbel bezeichnet. Grafisch bedeutet die Neuber-Regel, dass die Fläche unterhalb der Hyperbel für jeden Punkt gleich ist. Siehe dazu auch die folgende Abbildung.

Erklärung der Neuber-Regel und der Neuber-Hyperbel

Das bedeutet, dass das Produkt aus Spannung und Dehnung bei rein linearelastischem Werkstoffverhalten gleich dem Produkt aus Spannung und Dehnung bei Verwendung des elastisch-plastischen Werkstoffverhaltens ist:

Linearelastische Spannung · linearelastische Dehnung = elastisch-plastische Spannung · elastisch-plastische Dehnung

3.2 Anwendung der Neuber-Regel

Was bringt jetzt die Neuber-Regel, wie kann diese im Alltag genutzt werden? Denn obige Gleichung

Linearelastische Spannung · linearelastische Dehnung = elastisch-plastische Spannung · elastisch-plastische Dehnung

alleine hat noch keine direkte Anwendung, da sie zwei Unbekannte enthält, die gesucht sind. Das sind die elastisch-plastische Spannung und die elastisch-plastische Dehnung. Erst wenn man eine (beliebige) reale Spannungs-Dehnungskurve vorgibt, lässt sich das Problem lösen.

Im Falle von statischen Berechnungen wird oftmals linearelastisch-idealplastisches Werkstoffverhalten angenommen. Zeichnet man dieses Werkstoffgesetz zu der Hook’schen Gerade und der Neuberhyperbel ein, ergibt sich folgendes Bild.

Anwendung der Neuber-Regel

Bei der grafischen Lösung der Neuber-Regel liefert der Schnittpunkt der Neuber-Hyperbel mit der Spannungs-Dehnungs-Kurve die elastisch-plastische Spannung σ_plastisch und die elastisch-plastische Dehnung ε_plastisch.

Rechnerisch wird wie folgt vorgegangen:

Linearelastische Spannung · linearelastische Dehnung = elastisch-plastische Spannung · elastisch-plastische Dehnung

σ_elastisch · ε_elastisch = σ_plastisch · ε_plastisch

Im Falle des linearelastisch-idealplastischen Werstoffgesetzes gilt für die Spannung

σ_plastisch = R_e

außerdem hängen σ_elastisch und ε_elastisch über das Hook’sche Gesetz voneinander ab, so dass gilt:

ε_elastisch = σ_elastisch / E

Damit gilt für obige Gleichung:

σ_elastisch · ε_elastisch = σ_plastisch · ε_plastisch

σ_elastisch · σ_elastisch / E = R_e · ε_plastisch

(σ_elastisch)² / E = R_e · ε_plastisch

Durch Umformen dieser Gleichung nach ε_plastisch bzw. σ_elastisch Jetzt können zwei Dinge berechnet werden.

1. es kann bei einer gegebenen Spannung aus einer linearelastischen FEM Berechnung σ_elastisch auf die elastisch-plastische Dehnung ε_plastisch geschlossen werden:
   ε_{plastisch =} (σ_elastisch)² / (E · R_e) oder
2. es kann bei einer gegebenen elastisch-plastischen Dehnung auf die zugehörige Spannung aus einer linearelastischen FEM Berechnung σ_elastisch und damit auf die zu Grunde liegende Belastung geschlossen werden:
   σ_elastisch = (R_e · ε_plastisch · E)^1/2

Besonders spannend ist Gleichung 2. Denn was bedeutet diese Gleichung?

Gibt man jetzt als plastische Dehnung eine vom Werkstoff ertragbare Dehnung vor (ε_plastisch = ε_ert), dann erhält man die zugehörige ertragbare Spannung bei linearelastischer Berechnung.

3.3 Herleitung der Neuber-Regel

Was steckt hinter dem Grundgedanken der Neuber-Regel? Um dies zu verstehen, können wir die Neuber- Regel auch etwas anders schreiben:

Spannung · Dehnung = konstant.

σ_elastisch · ε_elastisch = konstant

Ersetzt man jetzt die elastische Dehnung durch

ε_elastisch = ΔL/L₀

und die elastische Spannung durch

σ_elastisch = F/A

so erhält man

σ_elastisch · ε_elastisch = konstant

F/A · ΔL/L₀ = konstant

(F · ΔL) / (A · L₀) = konstant

Wobei

A · L₀ = Fläche · Länge = Volumen und

F · ΔL = Kraft · Längenänderung = Arbeit ist.

Arbeit / Volumen = konstant.

Das bedeutet, egal ob linear-elastisches oder elastisch-plastisches Materialverhalten angenommen wird, es ist in beiden Fällen dieselbe Arbeit (Energie) pro Volumen nötig, um das Bauteil bei der angenommenen Last zu verformen.

4 Die plastischen Stützzahl (Dehnungskriterium)

4.1 Definition der plastischen Stützzahl

Die plastische Stützzahl n_pl beschreibt die Fähigkeit eines Bauteils, Tragreserven durch bewusstes zulassen plastischer Dehnungen auszuschöpfen. Dies führt dazu, dass Lasten zugelassen werden, welche im Bauteil zu Spannungen über der Streckgrenze führen! Möglich ist dies durch die Umlagerung von Spannungen in die weniger hoch beanspruchten Bereiche.

Genutzt wird die Stützzahl in vielen modernen Regelwerken, wie etwa der FKM-Richtlinie.

4.2 Berechnung der plastischen Stützzahl

In modernen Festigkeitsnachweisen wie der FKM-Richtlinie sind (wie oben beschrieben) zwei Kriterien zur Berechnung der plastischen Stützzahl notwendig:

1. Das Dehnungskriterium: Es muss gegen eine vom Bauteil ertragbare Gesamtdehnung ε_ert abgesichert werden
   ([E · ε_ert / R_e]^1/2, mit dem E-Modul E und der Streckgrenze R_e)  und
2. Die Traglast: Zum anderen muss durch die plastische Formzahl K_p sichergestellt werden, dass nicht der gesamte Bauteilquerschnitt plastisch verformt ist
   (K_p = vollplastische Traglast (L_{Vollplastisch}) / elastische Grenzlast (L_elastisch)).

Ausgelegt wird dann gegen den kleineren der beiden Faktoren. Das Vorgehen zeigt folgende Abbildung schematisch. Berechnet wird die plastische Stützzahl nach

n_pl = MIN([E · ε_ert  / R_e]^1/2; K_p).

Visualisierung der Berechnung der plastischen Stützzahl

Zur Berechnung des Dehnungskriteriums wird neben dem E-Modul und der Streckgrenze noch die ertragbare Dehnung e_ert benötigt. Typische Werte für die ertragbare Dehnung e_ert liefert die FKM Richtlinie:

Zur Berechnung der Traglast kann die FEM bemüht werden. Alternativ gibt einem die FKM-Richtlinie konservative Werte für die plastische Formzahl K_p an die Hand.

In einem folgenden Artikel werden wir uns mit der Berechnung der plastischen Formzahl K_p befassen.

4.3 Herleitung der plastischen Stützzahl

Ziel ist es immer, die Spannungen im Bauteil linearelastisch zu berechnen. Das hat die Vorteile, dass die Berechnung sehr einfach, schnell und mit FEM oder auch analytisch möglich ist. Gleichzeitig lassen sich dadurch auch elastisch-plastische FEM-Berechnungen einfach validieren.

Weiter oben haben wir die Neuber-Regel durch umformen auf folgende Gleichung gebracht:

σ_elastisch = (R_e · ε_plastisch · E)^1/2 = R_e · (ε_plastisch · E / R_e)^1/2

Werden jetzt Dehnungen zugelassen (ε_ert), die auch plastische Dehnungsanteile enthalten, dann sind die Spannungen größer als die Streckgrenze. Deshalb werden natürlich die linearelastisch berechneten Spannungen s_elastisch von den realen (elastisch-plastischen) Spannungen abweichen. Mit obiger Gleichung können diese berechnet werden. Setzt man ε_plastisch = ε_ert erhält man:

σ_elastisch =R_e · (ε_ert · E / R_e)^1/2

Nach dieser Gleichung führen linearelastische Spannungen σ_elastisch, die um den Faktor (ε_ert · E / R_e)^1/2 oberhalb der Streckgrenze liegen genau zu der ertragbaren Dehnung ε_ert. Diese Gleichung zeigt also deutlich, dass bei Zulassen von plastischen Dehnungen die Spannungen bei linearelastischer Berechnung deutlich oberhalb der Streckgrenze liegen können. Und zwar genau um den Betrag des Dehnungskriteriums aus obigem Abschnitt. Link einfügen!!!xxx

Fazit:

Das Dehnungskriterium ist genau aus der Neuber-Regel unter der Annahme von linearelastisch-idealplastischem Werkstoffverhalten abgeleitet.

5 Fazit

Das Dehnungskriterium ([E · ε_ert  / R_e]^1/2) erhöht also die Streckgrenze, so dass sich bei linearelastischer Berechnung der Spannungen im Bauteil genau die ertragbare Dehnung ε_ert  einstellt, wenn linearelastisch-idealplastisches Werkstoffverhalten angenommen wird.

Die Potenziale, die sich dadurch erschließen sind enorm, wenn ein Bauteil ausreichend duktil ist und sich eine ungleiche Spannungsverteilung im Bauteil einstellt! Denn dann sind die Möglichkeiten zur Spannungsumlagerung ideal. ABER: gleichzeitig bedeutet eine ungleiche Spannungsverteilung z. B. wegen Kerben auch, dass das Bauteil nicht hoch genug ausgelastet ist. Besser ist immer die Kerbwirkung zu reduzieren!

6 Potenziale

Nachfolgend drei Beispiele für die Potenziale die sich durch Ausnutzen der plastischen Stützzahl ergeben. Bei allen drei Beispielen zeigt sich, dass durch das Zulassen von plastischen Dehnungen deutlich höhere Lasten zugelassen werden können. In diesen Beispielen um bis zu 70%!

1. Ein Vergütungsstahl C60
   R_e = 370 MPa
   E = 210 000 MPa
   A = 10 %
   K_p = 1,7 (Annahme: Kreisquerschnitt unter Biegung, siehe obige Tabelle)
   ε_ert = 5 % (siehe obige Tabelle)
   [E · ε_ert  / R_e]^1/2 = [210 000 · 0,05  / 370]^1/2 = 5,3
   n­_pl = MIN([E · ε_ert  / R_e]^1/2; K_P) = MIN(5,3; 1,7) = 1,7Fazit 1: Nach dem Dehnungskriterium können 5,3 mal höhere Lasten zugelassen werden.
   Fazit 2: Maßgeblich ist allerdings die Traglast, nicht das Dehnungskriterium!
   Fazit 3: Deshalb können in Summe „nur“ 1,7 mal höhere Lasten zugelassen werden!
   Fazit 4: Um noch höhere Lasten zulassen zu können, müsste die plastische Formzahl K_p mit FEM genauer berechnet werden.
2. Eine Aluminiumlegierung AlMgSi T6
   R_e = 160 MPa
   E = 70 000 MPa
   A = 12%
   K_p = 1,0 (Annahme: Kreisquerschnitt unter Zug, siehe obige Tabelle)
   ε_ert = 5 % (siehe obige Tabelle)
   [E · ε_ert  / R_e]^1/2 = [70 000 · 0,05  / 160]^1/2 = 4,7
   n­_pl = MIN([E · ε_ert  / R_e]^1/2; K_P) = MIN(4,7; 1,0) = 1,0Fazit 1: Nach dem Dehnungskriterium können 4,7 mal höhere Lasten zugelassen werden.
   Fazit 2: Maßgeblich ist allerdings die Traglast, nicht das Dehnungskriterium!
   Fazit 3: Deshalb können keine höhere Lasten zugelassen werden!
   Fazit 4: Um noch höhere Lasten zulassen zu können, müsste die plastische Formzahl K_p mit FEM genauer berechnet werden.
3. Ein Gusseisenwerkstoff EN-JM 1170
   R_e = 390 MPa
   E = 180 000 MPa
   A = 3 %
   K_p = 1,7 (Annahme: Kreisquerschnitt unter Biegung, siehe obige Tabelle)
   ε_ert = 2 % (siehe obige Tabelle)
   [E · ε_ert  / R_e]^1/2 = [180 000 · 0,02 / 390]^1/2 = 3,0
   n­_pl = MIN([E · ε_ert  / R_e]^1/2; K_p) = MIN(3,0; 1,7) = 1,7Fazit 1: Nach dem Dehnungskriterium können 4,7 mal höhere Lasten zugelassen werden.
   Fazit 2: Maßgeblich ist allerdings die Traglast, nicht das Dehnungskriterium!
   Fazit 3: Deshalb können in Summe „nur“ 1,7 mal höhere Lasten zugelassen werden!
   Fazit 4: Um noch höhere Lasten zulassen zu können, müsste die plastische Formzahl K_p mit FEM genauer berechnet werden.

7 Auf den Punkt